Köztudott – bár sokszor elhallgatott – tény, hogy a modern tudomány keresztény világnézeti alapokon született. Ez történetileg is igaz, és viszonylag könnyű belátni az okait is. Alfred North Whitehead brit filozófus például hangsúlyozza, hogy a tudomány nem létezhetne anélkül az általános meggyőződés nélkül, hogy létezik Rend, az ember pedig rendelkezik azzal a képességgel, hogy ezt a rendet megismerhesse. Tudományfilozófusok tudják, hogy mindkét előfeltevés eredetileg abból a kettős keresztény meggyőződésből táplálkozott, hogy egyrészt az univerzum egy értelmes Alkotó műve, másrészt ez az Alkotó a saját képmására teremtette az embert, szintén értelemmel, hogy kutassa a műveit. Kepler elhíresült mondata ebből a szempontból tipikus: „a tudós dolga az, hogy Isten gondolatait gondolja végig”.
Tudománytörténészek rámutatnak, hogy a modern tudomány robbanásszerű fejlődése akkor kezdődött, amikor keresztény gondolkodók szakítottak nem csak a középkor sokféle babonájával, de a görögök szemléletével is. A keresztény gondolkodók és a görög filozófusok egyetértettek abban, hogy a világ racionális, vagyis rend van benne. Volt azonban egy lényeges különbség köztük. A görögök azt feltételezték, hogy a világot filozófiai dedukcióval is meg lehet ismerni, hiszen a dolgok rendjét evidens logikai összefüggések irányítják. A görögöknek ezért nem volt szükségük alapos megfigyelésre ahhoz, hogy érteni véljék a világ rendjét. Arisztotelész és Ptolemaiosz például azt feltételezték, hogy a bolygók keringése tökéletesen kör alakú, hiszen a mennyei szférákban kizárólag tökéletesség uralkodhat. Mivel a körkörös mozgás a legtökéletesebb mozgás, a bolygók is csak így keringhetnek.
A keresztény tudósok másból indultak ki. A keresztény tudósok számára az „első filozófia” Isten létezése volt. Ebből arra következtettek, hogy a dolgok rendje nem valamiféle belső logikai szükségszerűségből fakad, hanem Isten értelmes szándékaiból és tervéből. Azt is feltételezték, hogy Isten az embert hasonlóan értelmes lélekkel ajándékozta meg, ezért a dolgok valóságát kutatva képes felfedezni Isten tervét. Ha a dolgok rendjét nem valamiféle logikai szükségszerűség alakítja olyanná, amilyen, akkor a világegyetemet kontingencia (esetlegesség) jellemzi. Vagyis a világ nem szükségszerűen olyan, amilyen, hanem azért, mert Isten ilyennek teremtette. Ebből következően azt kell megismernünk, ami van, nem azt, amilyennek a dolgoknak lenniük kell. Vagyis Isten titkainak a kikutatásához empirikus megfigyelésre van szükség. Így indult útjára a modern tudomány.
A keresztény alapokra építkező modern tudomány nem azt kezdte kutatni, hogy Istennek mit kellett tennie, hanem azt, hogy Isten ténylegesen mit tett. Mivel Istennek tökéletes szabadsága volt arra, hogy Alkotóként azt tegyen, amit akar, a modern tudomány a deduktív módszer helyett a megfigyelésre helyezte a hangsúlyt. A keresztény tudósok azt mondták: nézzük meg, vajon Isten milyen világot alkotott és hogyan tette? Tényleg kör alakú pályán mozognak a bolygók? Mi van a sejtekben? Mit találunk a fosszíliák között? Milyenek a molekulák? Miből áll a fény? Mit árulnak el a föld lemezei? Mit találunk az univerzumban, ha egyre hatékonyabb teleszkópokkal vizsgáljuk?
Az elmúlt húsz évben többször is jártam Cambridge-ben. Az egyik legérdekesebb élményem ebben a történelmi levegőjű egyetemi városban a keresztény emlékek felfedezése volt. Ranald Macaulay a Christian Heritage Foundation vezetőjeként végigvitt Cambridge patinás terein, és megmutogatta az egyetem és a város keresztény gyökereit, valamint a keresztény gondolkodás kitörölhetetlen nyomait. A Cavendish Laboratory kapujának boltívén ma is egy latin nyelvű felirat emlékeztet a zsoltáros ujjongó felkiáltására: Magna opera Domini exquisita in omnes voluntates ejus. J. C. Maxwell helyezte el a feliratot 1871-ben, mert a tudományos munka alapjának tartotta, hogy a tudós Isten hatalmas cselekedeteinek kikutatásában gyönyörködjön. Lenyűgöző azoknak a keresztény tudósoknak a listája, akik ezt tették: Kopernikusz, Kepler, Galilei, Linné, Boyle, Agassiz, Newton, Kelvin, Pasteur, Faraday, Rutherford, Planck, Maxwell, és a listát sokáig lehetne folytatni. A világ nyitott kutatása nem idegen a kereszténységtől. Éppen ellenkezőleg: a lényegéhez tartozik.
„Alfred North Whitehead brit filozófus például hangsúlyozza, hogy a tudomány nem létezhetne anélkül az általános meggyőződés nélkül, hogy létezik Rend,” — attól még, hogy hangsúlyozza, hogy „nem létezhet”, attól még alapos vizsgálat alá vetve a kérdést kiderülhet, hogy nem így van. Illetve, ha így van, az eléggé konyhafilozófia szinten igaz, pl. mint az, hogy „mindennek kell, hogy legyen oka”.
„Kepler elhíresült mondata ebből a szempontból tipikus: „a tudós dolga az, hogy Isten gondolatait gondolja végig”.” — amire a szintén hívő Gödel éppen hogy rácáfolt, azzal a tételével, ami olyasmiről beszél, hogy a teljes igazság emberi eszközökkel elérhetelen.
” szakítottak nem csak a középkor sokféle babonájával” — a newtoni távolhatás vagy a flogisztonelmélet igen hatékony, termékeny, de meglehetősen babonás nézetek. Ezek a robbanásszerű változást nem csak túlélték, hanem keltették.
„A görögöknek ezért nem volt szükségük alapos megfigyelésre ahhoz, hogy érteni véljék a világ rendjét. Arisztotelész és Ptolemaiosz például azt feltételezték, hogy a bolygók keringése tökéletesen kör alakú, ” — a görögök alaposabb megfigyelők voltak, mint a középkoriak. A megfigyeléseket nem kéne összekeverni a görögök magyarázataival. Ptolemaiosz nagyon sok megfigyelést végzett. Nem ragaszkodott a körpályához, amikor kiderült, ez nem magyarázza a bolygómozgást. Addig bonyolította a rendszerét, míg az már le nem írta kellő pontossággal a mozgásokat. Epicikloisokkal. A számítógép is azt feltételezi, hogy a bolygópályák szakaszonként egyensek, miközben ez egyáltalán nem igaz. Ebből nem lehet azt a következtetést levonni, hogy a mai embert csak az elméletei érdeklik, a megfigyelések nem. Továbbá ennyi erővel azt is mondhatnánk: Galilei, a hagyományosan első kísérleti fizikus, csak az elméleteivel volt elfoglalva, és a kísérletekre nem adott, mert a nagy távolságba kilőtt golyó pályáját körnek tekintette (merthogy ez így volt).
„Mivel Istennek tökéletes szabadsága volt arra, hogy Alkotóként azt tegyen, amit akar, a modern tudomány a deduktív módszer helyett a megfigyelésre helyezte a hangsúlyt.” — ez azért a tudománymetodológia végletesen leegyszerűsített képe. A megfigyeléseket csak valamilyen elméletben megfogalmazva lehet tenni. Ha nem tudjuk mit akarunk mérni, akkor mérni sem tudunk. Mérhetjük például az elektron sebességét, bár sok értelme nem lesz, tekintve, hogy azon a szinten nincs pillanatnyi sebesség és helyzet együtt. Tehát nem mérhetünk sebességet, akármellyre is ki akarjuk fürkészni, hogy Isten mekkora sebességet adott az elektronnak.
„A keresztény tudósok azt mondták: nézzük meg, vajon Isten milyen világot alkotott és hogyan tette? ” — És hogyan tette? 🙂
„Tényleg kör alakú pályán mozognak a bolygók? Mi van a sejtekben? Mit találunk a fosszíliák között? Milyenek a molekulák? Miből áll a fény? Mit árulnak el a föld lemezei? Mit találunk az univerzumban, ha egyre hatékonyabb teleszkópokkal vizsgáljuk?” — ezek a tudományfejlődés következményei és nem a keresztény alapállás eredményei. Newton és Einstein nem kérdezték meg, hogy miből áll a fény. Mondtak valami elméletit. Newton abból a babiloni babonából indult ki, hogy amilyen a mikorokozmosz, olyan a makrokozmosz. Einstein szerint pedig „Isten nem kockajátékos”, tehát Isten lehetőségeit korlátozta: Isten szükségképpen nem állhat a kvantummechanika pártján.
„A világ nyitott kutatása nem idegen a kereszténységtől. Éppen ellenkezőleg: a lényegéhez tartozik.” — ezzel egyetértek. De ne keverjük össze a tudományt, azaz a világ megismerését, a keresztény tudománymetodológiával vagy kerseztény tudományszociológiával, ami a te és más általad rendszeresen emlegetett apologéták (pl. Meyer) hibbija.
Szerintem ez a kapcsolat, egy nagyon fontos állítás a hit természetének megértésében. Pál is hangsúlyozza, hogy a hitünknek nem elméleteken, bölcselkedéseken kell nyugodnia, hanem a Szentlélek erejének megtapasztalásán, a valóság megismerésén. A hitben, nem a valóság lesz más, hiszen az adott, hanem a logika változik, amellyel ahhoz viszonyulunk. Érdekes, hogy a detektívtörténetekben sok elfogadható megoldás születik a nyomozás során, mégis az áll meg a végén, amelyik minden részletre választ ad. Ráadásul az elméletek fejlődése nem is egymásra épülő, hanem az előzőt romboló, talán ahogy a Rubik kockát rakjuk ki. Ahhoz, hogy következő oldalt kirakjunk, meg kell bontani azt ami már kész volt…
yuki,
nem csak velem és Whiteheaddel vitatkozol, hanem egy széles körben elfogadott tézissel. Melvin Calvin Nobel-díjas biokémikus és Paul Davies ismert (nem keresztény) fizikus egyaránt hangsúlyozzák, hogy a modern tudomány alapja a keresztény monoteizmus. J. Robert Oppenheimer, Stanley Beck, John Brooke és Peter Harrison ugyanezt állítják, valamit ők is számítanak. Az az alapvetés, hogy az univerzumban megfigyelhető rendezettség van, egyáltalán nem magától értetődő. Az pedig különösen nem az, hogy az ember ezt képes megérteni és kikutatni. Gondolj bele! Ha az ember egyszerűen csak kémiai folyamatok mellékterméke, miért tartjuk megbízhatónak a megfigyeléseinket és a következtetéseinket? Ezek HATALMAS előfeltevések, melyeket döbbenetes, de visszaigazolnak a tapasztalataink. Vajon miért? Komoly tudósok és tudományfilozófusok nem győznek ezen csodálkozni. Einstein mondta: „A legfelfoghatatlanabb dolog a világegyetemben az, hogy emberi ésszel felfogható.” Valóban.
Ádám, ez nem egy széles körben „elfogadott” tézis, hanem egy széles körben „ismert” tézis. Természetsen vitatják, ahogy mindent vitatni is kell a tudományfilozófiában. Hasonlóképpen a test-elme dualizmushoz, ami közismert, és természetsesen vitatott.
Az ellentézis, hogy a világ azért olyan „emberi”, mert mi emberek nézzük és a saját fogalmaink segítségével írjuk le. Milyen lenne egy nem emberléptékű univerzum? Nem is létezne. Persze, hogy emberi, hisz benne élünk, van helyünk benne. Ez Davies ateista érve :).
Vitatni pedig a leírtakat azért is érdemes, mert nem közvetlenül idézel, hanem a te világlátásod szűrőjén keresztül fogalmaztad meg.
yuki, igazad van abban is, hogy a tézist vitatják, és abban is, hogy mint minden tézist, ezt is szabad vitatni, különösen abban a formában, ahogy az én „világlátásom szűrőjén” ment át. Én nyilván azért írtam róla, mert a tézist igaznak és meggyőzőnek tartom.
Ádám, a gond az, hogy túl sok gyenge érvet hoztál fel a tézised mellett. Olyanokat, amik tényszerűen hamisak. A görögök nem csak teoretikusok voltak, hanem amellett, hogy kísérleti emberek is újszerű módon elsőként voltak teoretikusok. Ptolemaiosz kiváló kísérleti (megfigyelő) csillagász volt. Ellenben Galilei és Newton (a kísérleti fizika megalapozói) inkább voltak teoretikusok. Talán az egyetlen, aki a korban a te ideáidnak megfelelt, az Kepler volt. Ez nagyon kevés a tézis efféle történeti alátámasztásához.
Egyetlen érv azonban sokkal erősebb mindannál, amit felsoroltál és tényleg nem könnyű megválaszolni. Ha a tudomány azért látja emberinek a világot, mert emberként figyeli meg, azaz a tudomány szociális konstrukció, akkor miért van az, hogy ennyire jól passzol a valósághoz. Ha például a számok szociális (ill. puszátn gondolati) konstrukciók, akkor miért van az, hogy a természetben a számok alkalmazása ennyire hatékonyan működik, ennyire visszadaja a kísérletileg ellenőrizhető vaságot? Miért tűnik úgy, hogy a természet könyve tényleg(!) a matematika nyelvén van írva, ami viszont emberi nyelv. Erre nem könnyű válaszolni. Javaslom inkább ezt az érvet 🙂
@yuki,
az első kommentedhez: nem gondolnám hogy Gödel munkássága cáfolata volna annak, amit Kelper mondott.
Persze hogy nem fog menni a dolog a maga teljességében… Na és akkor mi van? Akkor álljunk le a tudományos igényű munkával?! Már miért kellene leállni?
A posztsorozat kapcsán megjegyzem a neodarwinistákat sem zavarja ez a nem teljesség…
yuki,
ez nem az én tézisem, hanem a fentebb említett tudósoké, és rajtuk kívül másoké is. Akik ezt kifejtették, többnyire nem is keresztények. Én egyébként nem mondtam, hogy a görögök (mint Ptolemaiosz) csak teoretikusak voltak, hanem azt állítottam, hogy a modern tudomány a kontingencia feltételezéséből indult ki, ami pedig szakítás volt a középkor babonáin túl a görögös szemlélettel (konkrétan Arisztotelész dominanciájával és a ptolemaioszi világképpel) is, mert a megfigyelést előnyben részesítette a deduktív következtetéssel szemben, ami akkor uralkodott. Azt is állítottam, hogy a kontingencia feltételezése pedig a Teremtőben való hitből származott. A tudományos robbanás nem Kínában vagy Indiában történt, hanem a keresztény világnézeten belül. Ez történelmi tény, még ha a jelenség magyarázatában vannak is hangsúlybeli különbségek.
Amit a matematikáról mondasz, az valóban jó érv, Galilei is használta a korabeli akadémia arisztotelianizmusával (és az azt alátámasztani hivatott bibliaértelmezéssel) szemben. Ami Kepler mondatát és Gödelt illeti: egyetlen keresztény sem gondolta soha azt, hogy Isten gondolatait és az ő munkáit teljes egészében felfoghatná, úgyhogy nincs itt probléma. Newtont is szóba hoztad: ő bizonyos dolgokra rájött, más dolgokban valóban tévedett, vagy nem látott elég messze. Ez megtörténik ismert és kiváló tudósokkal ma is. Azt viszont egyáltalán nem értem, amit a tudomány és a tudománymetodológia meg tudományszociológia összekeveréséről és Meyer hibbijéről (hobbijáról?) írsz. Volt más, amire nem reagáltam?
A multiverzum elmélet megpendítése és az, mit gondolnak jelenleg az elméleti fizikusok a Világegyetemünkről: http://youtu.be/fRG558zuWNU
Nincs semmi különös a fizikai paraméterekben, sem abban, hogy az Univerzumunk megismerhető. Csak egy lehetséges változata a sok valószínűnek.
norbs,
feltételezem, hogy az univerzum finomhangoltságának teista implikációi miatt tartod fontosnak ezt az elméletet. Szerintem pedig:
1. A multiverzum elmélet csak tovább tolja a kérdést egy szinttel feljebbre. A multiverzum sem nem válaszolja meg az alkotó kérdését, sem nem zárja azt ki. Elvben Isten alkothatott akár számos párhuzamos univerzumot is, melyek közül az egyik a miénk. Vajon a multiverzum (ha van ilyen) finomhangolt egy magasabb szinten? Hogy jött létre? Örökkévaló? Tudjuk ezt? Ha igen, honnan tudjuk? És ha nem az? A multiverzum elmélet nem válasz a teizmus „problematikájára”.
2. A multiverzum elmélettől függetlenül a mi univerzumunk finomhangolt. Lehetne ez akár máshogy is, de nincs máshogy. Vajon miért az?
3. Nem igaz, hogy jelenleg az (!) elméleti fizikusok ezt gondolják a világegyetemről (világegyetemekről?). A multiverzum elmélet egyáltalán nem általánosan elfogadott. Az a Sir Roger Penrose például, akivel Hawking osztozott a Wolf Prize-on, ezt írja a multiverzum elméletről: „It’s an excuse not to have a good theory.” John Polkinghorne (egy másik neves elméleti fizikus) pedig ezt: „Let us recognize these speculations for what they are. They are not physics, but in the strictest sense, metaphysics. There is no purely scientific reason to believe in an ensemble of universes. By construction these other worlds are unknowable by us. A possible explanation of equal intellectual responsibility – and to my mind greater economy and elegance – would be that this one world is the way it is, because it is the creation of the will of a Creator who purposes that it should be so.” Számos más elméleti fizikust is idézhetnék.
4. A multiverzum elmélet nem tudomány, hanem filozófia. Nem fizika, hanem metafizika. Azt is mondhatnám, saját világnézetemből nézve, hogy ez egy anti-teista vágyálom. Nem szeretek ezzel dobálózni, de Pál apostol szavait ezen a ponton kísértetiesen igaznak tartom: „Ami ugyanis nem látható belőle: az ő örök hatalma és istensége, az a világ teremtésétől fogva alkotásainak értelmes vizsgálata révén meglátható. Ennélfogva nincs mentségük, hiszen megismerték Istent, mégsem dicsőítették vagy áldották Istenként, hanem hiábavalóságokra jutottak gondolkodásukban, és értetlen szívük elsötétedett.”
5. A multiverzum elmélet Occam sokat emlegetett borotvájától is látványos és mély sebet kap.
norbs,
nem értem, a multiverzum elméletet mivel kapcsolatban hoztad fel egyáltalán, miben kapcsolódik a poszthoz vagy bármelyik kommenthez??
1. Amúgy minél inkább sokat emlegetsz, annál inkább valószínűtlen.
2. a multiverzum elmélet esetén a valószínűségről, valószínűtlenségről beszélni sincs túl sok értelme, mert halványlila dunsztunk sincs a valószínűségi mezőről.
yuki: “Kepler elhíresült mondata ebből a szempontból tipikus: „a tudós dolga az, hogy Isten gondolatait gondolja végig”.” — amire a szintén hívő Gödel éppen hogy rácáfolt, azzal a tételével, ami olyasmiről beszél, hogy a teljes igazság emberi eszközökkel elérhetelen.
Gödel első nem teljességi tétele – főleg Gödel eredeti – értelmezésében éppen, hogy teljesen Keplet mellé állítható. A lényege az, hogy nincs az alapigazságoknak egy olyan véges halmaza, melyből a megengedett következtetési szabályok tetszőleges sorrendű, de véges számú alkalmazásával az alapigazságoktól eljuthatnánk minden igazságához a rendszernek, vagyis a tételekhez. Ezért az ismeret egy szintjén mindig újabb és újabb alapigazsággal kell az addigiakat bővíteni. Isten gondolatainak végiggondolása itt alapvetően két részből áll. Megtalálni a következő alapigazságot, amivel Isten dolgozott és meggondolni annak következményeit. Majd ezt ismételni az örökkévalóságig. Gödel ugyanis hitte, hogy rendszere vég nélkül bővíthető. Ebben a meggondolásban minden állítás vagy igaz vagy nem. A bővítés meg nagyjából ahhoz a játékhoz hasonlítható, hogy ki tud nagyobb természetes számot mondani. Ki tud nagyobb halmazt mondani. Ki tud többet kifejezni képes axiómarendszer mondani. Mivel a felsoroltak felülről „nyíltak”, így elvileg a folytatás örökké tart, mert mindig van nagyobb. Isten, mint abszolútum is erre épül, mindig tudhatunk majd meg róla újat, többet, ami azonban az eddigi igaz ismeretet csak kitágítja, azt se nem cáfolja, se át nem értelmezi. (Nem keverendő azzal, amikor valamiről kiderül, hogy nem is volt igaz ismeret!)
Tételének mai modern értelmezése azonban már egészen másról szól. Ebben a rendszer bővítése mindig szükségképpen megakad valahol. Az alapigazságok relatívakká válnak. Mindenkinek meg lesz a maga igazsága. A maga számelmélete. Csak vélemények vannak. S az ember megismerhet sok-sok egyenrangú véleményt. Ez az eldönhetetlen állításokra épül. Azt értik alatta, hogy az adott állításnak nincs abszolút logikai értéke. Az ember így szabadon adhat nekik. (Független állításnak is szokták nevezni.) Egyforma értéke lesz a rendszernek ha igaznak tekintjük benne az adott „független” állítást és ha hamisnak. Ha mondjuk van 10 ilyen állításunk, akkor 1024 elméletünk lehet csak e 10 „független” állítás relatív logikai értékének megválasztásaival. Sok teológus is így gondolkodik. S egymásnak örvendeznek, hogy milyen sok „érdekes” istenképük van.
Az egész hátterében pedig nem más, mint a 0-val való osztás áll. Ezzel is a felső fokú oktatás első félévében találkozunk igen komoly szinten. Miközben azt tanítják, hogy nullával nem osztunk, a közben megmutatják, hogy egy szakasz és egy négyzet, sőt a teljes R^n tér pontjai „ugyanannyian” vannak. Aki ezt elhiszi, azt már át s verték! Én is elhittem. Pedig ez csak akkor igaz, ha 0-val osztunk. Ekkor lesz egy szakaszban ugyanúgy végtelen pont, mint egy négyzetben, sőt R^n-ben. Az már csak hab a tortán, hogy ebből származik a megszámlálhatatlanul végtelen. A dolgo másk megfogalmazása, hogy ha egy halmaz első néhány eleme párba állítható a halmaz egy részhalmazával, akkor az egész halmaz is párba állítható a halmaz egy valódi részhalmazával.
Amikor a matematikában áttértek Isten gondolatainak végiggondolásáról, a mindenki építse fel a saját matematikáját, akkor megtörtént az amit ma úgy hívunk, hogy a matematikát azóta nem felfedezik, hanem feltalálják. Cantor volt ennek az úttörője. Szegény elhitte, hitte, hogy ha egy szakaszról van szó már büntetlenül lehet 0-val osztani. Másrészt rosszul vezette be a halmaz fogalmát, mert halmaz és része helyett halmaz és eleme alapfogalmat választott. Ebből ellentmondásokra jutott. Ahelyett azonban hogy az alapfogalmakat kicserélte volna azt mondta a régi megközelítés a rossz. Isten gondoltai nem gondolhatók végig. Az embernek magának kell a gondlatokat egymásra halmozni.
Az igazi meglepetés 1963-ban érte ezt a gondolkodást. Ekkor mutatta ki Cohen, hogy a híres-hírhedt kontinuum hipotézis független állítás. Ezzel az adott körben végkép eldőlt, hogy nincs abszolút matematika. Hogy milyen értelmetlenségekhez vezet ez a gondolkodás, jól mutatja a gömbkettőzős tétel. (Haussdorff-Banach-Tarsky paradoxon)
Gödel első nem teljességi tétele ekkor már nem egy újabb igaz állítást talál, amivel nem bővíthető, ha eldönthetetlen állítást. Itt szabadon indulhat a modern matematikus mindkét irányban. Az választott irány azonban egyben a másik irány kizárását is jelenti. Ami azonban igazán érdekes és erre egy komoly matematikus egyetemi tanár hívta fel a figyelmem, hogy a folyamat mindig elakad valahol. Egy ponton egyszerűen képtelenség újabb bővítést tenni. Teológiára átfordítva: a maguknak Isten definiálgatók, egy ponton elakadnak, nincs tovább. Jobb híján különböző látások együtteseként próbálják tovább vinni a gondolatot.
Azt tanítják a matematikában, hogy R a valóság része, vagyis a valós számok halmaza standard, megkérdőjelezhetetlen. Ebből következően a kontinuum hipotézis az első független állítás. Ez hazugság. Amit nem lehet megkérdőjelezni az Q, vagyis a racionális számok halmaza. A kontinuum hipotézis nem az első, hanem a 4. szintje a független állításoknak. A szintek visszafelé: 4. kontinuum hipotézis, 3. Cantor főtétele, mely szerint egy szakasz pontjai nem megszámlálhatóak, 2. Cantor párosítása, 1. a végtelen bevezetése. Az oktatás az 1-3 pontokat tényként tanítja, holott azok valódi bevezetése axiómával történik. Lehetne ellentétest is választani, vagyis már ezek független állítások. Nem könnyű meggondolni, de tulajdonképpen a természetes számokra kell egy végtelen nélküli rendszert felépíteni. Meg lehet csinálni.
Az, hogy kilóg a lóláb kiderül például Totik Vilmos matematikus, egyetemi tanár szavaiból:
http://www.termeszetvilaga.hu/kulonsz/k983/totik3.html „Jegyezzük meg, hogy Gödel és Cohen eredményei nem válaszolják meg a kontinuum kérdését: ma sem tudjuk, hogy igaz-e a kontinuum-hipotézis (az általunk használt “standard” számegyenesen); csak az derült ki, hogy ez logikailag eldönthetetlen a többi axiómából (azaz vannak olyan “nemstandard” számegyenesek, amelyeken igaz a kontinuum-hipotézis, meg vannak olyanok is, amelyeken nem igaz; de ez nem válaszolja meg azt a kérdést, hogy a “standard” számegyenesen igaz-e). ” A helyzet az, hogy ebben a gondolkodásban már nincs olyan, hogy standard számegyenes. Az már független állításoktól terhelt. Skolem volt az aki kimutatta, hogy nincs olyan axiómarendszere az N természetes számoknak, mely csak a 0,1,2,… sor elemeit tartalmazná! Vagyis a 0,1,2,… sor önmagában nem axiomatizáható!
Aki a végtelentől meg akar szabadulni, az ebből az eredményből csinálhat erényt. Egy olyan matematikát fog (vissza)kapni, amiben nincsenek független állítások, ám mindent tartalmaz amit kell. (Végesként foglalja magában a végtelent, méh ha elsőre ez furcsán is hangzik.) S mivel nincsenek benne független állítások, így abszolút és határok nélkül vég nélkül bővíthető. Ezzel pedig az abszolút Isten dicsősége is újra felcsillan. Kepler állítás tehát igaz.
Ez egy példa arra is, hogy milyen mélyen gyökerezik az emberben a tévedés lehetősége. A XIX század végén Cantor tett egy ártatlannak látszó újítást, amiről mára bizonyosodott, hogy teljes tévút, de már annyira belénk ivódott, hogy fogalmunk sincs a kiútról. Pontosabban lenne, de sok embernek nagyon is jó ez a status quo, hogy mi találjuk ki a matematikát, mi találjuk ki Istent, mi mondjuk meg mi az igaz és mi nem, s Isten ezt azzal is segíti, hogy elhisszük független állítások léteznek, így más nem s lehet.
Az egyetlen válasz erre egy olyan matematika, ami nem elaprózó, de mégis abszolút. A teológiában pedig ilyen a Bibliára épülő igaz Isten ismeret.
Az emberrel nem az a baj, hogy kísérletileg vagy gondolkodás útján jut el valahova, hanem az, hogy mivel az igazságokat amiből kényszerűen elindul, magának kell megválasztania, s ezek között mindig lesz olyan ami abszolút értelemben hamis. Ezért jut egy ponton mindig zsákutcába. Egy Istenre figyelő tiszta gondolkodás ezt mindig elkerülné. A mennyben ilyenek leszünk. Ott végképp nem a saját igazságunk dicsfénye fog érdekelni, hanem Isten abszolút igazságában fogunk gyönyörködni, és egyre jobban elmélyülni, minden kétség nélkül. Immár Kepler állítását senki nem kérdőjelezi majd meg.
Kedves Hunor,
Ami Gödel értelmezését illeti, rendben 🙂 amit a modern értelmezés kapcsán írsz, azzal és onnantól kezdve erősen gondjaim vannak.
1. nem tudom ki tanította neked a halmazelmélet és számelmélet alapjait, de én sosem hallottam senkit tényekről beszélni.
Sem középiskolában fakt B-n, sem az egyetemen. A valóság sok szeletének viszonylag természetes modelljéről hallottam.
ÉS ha meg kell alapozni, akkor valóban a halmazelmélet legalapvetőbb axiómáival és a Peano-axiómákkal szokták kezdeni.
Skolemmel kapcsolatos megjegyzésedre válaszolva megjegyezném, hogy hozzá szokták tenni azt, hogy minden természetes szám elérhető a kezdeti értékből rákövetkezésekkel.
A valós számok elnevezés pedig a képzetes számokkal, komplex számokkal kontrasztban válik érthetővé amelyek egy jóval komplexebb modellt alkotnak, ami azonban sok helyen (elektrodinamikában pl.) jól használható.
Az pedig, hogy milyen axiómákból indulunk ki, nagyon nem mindegy, a Bolyai-féle nem-euklideszi geometria óta ez még inkább nyilvánvaló.
2. ami a halmazok számosságát illeti, és azt, hogy mi az, hogy „ugyanannyian vannak, mint”, ha jól értem, nem tetszik az a definíció ami az egy-egyértelmű leképezésen alapul.
Ez a definíció alapján a számosságok valóban megegyeznek. De nem értem, miért nem tetszik neked ez a definíció és mit javasolsz helyette?
3. Ami a 0-val való osztást illeti, a legtöbb esetben elkerülhető. Sokszor két, 0-hoz tartó (de 0-t nem tartalmazó) sorozatból [a(n) -> 0, b(n) -> 0] képzett hányadossorozatról [ a(n)/b(n) -> ? ] van szó, amely hányadossorozat sokszor valóban büntetlenül számolható. Közben egyszer sem kellett nullával osztani. Remélem, nem ezt nevezed 0-val való osztásnak?
4. Gödel nem-teljességi tétele arról szól, hogy nem lehet akármivel bővíteni a rendszert vég nélkül. Nem látom, hogy miért ne lehetne a rendszert vég nélkül bővíteni. Csak ki tudja, milyen irányba?
5. azzal, hogy mi lenne, ha ennek az eldönthetetlen állításnak ezt az értéket választanánk, annak meg azt, a harmadiknak meg amazt, elég kevés és bizonyos szempontból eléggé elvetemült matematikus foglalkozik csak. Itt persze tényleg érdekes kérdés az állítások függetlensége, de erről még igen keveset tudunk, és amikor eldönthetetlen állításokkal játszunk, pláne többel egyszerre, érhetnek még minket nagy meglepetések…
6. a végtelen fogalmát meg lehet próbálni kihajítani, de akkor vele együtt kihajítjuk a fizika zömét, közte az elektrodinamikát is, és akkor kb. vele együtt hajítod ki a számítógépedet is amiről kommentelsz 😉 A hétköznapi életben annyi minden találmány épült végső soron ezekre a matematikai modellekre, amiket aligha akarsz kidobni 😉
7. A véges matematikának neki lehet futni, de nagy kérdés az, hogy a többi természettudománynak, akárcsak a fizikának elegendő lesz-e, amit le sikerül vele írni?
@Hunor,
ami pedig az Istenre figyelő, tiszta gondolkodást illeti, elfelejtkezel valamiről, ami ilyen gondolkodás mellett valami hasonlót mond ki, mint Gödel nem teljességi tétele: „„Nincsen igaz ember egy sem, nincsen, aki értse, nincsen, aki keresse Istent.” Pál is azt írja, hogy az akarás megvan benne, de a véghezvitelt nem találja. Vagy azt, amit a Prédikátor mond: „Láttam a foglalatosságot, melyet adott Isten az emberek fiainak, hogy fáradozzanak benne. Mindent szépen csinált az ő idejében, e világot is adta az emberek elméjébe, csakhogy úgy, hogy az ember meg nem foghatja mindazt a dolgot, a mit az Isten cselekszik kezdettől fogva mindvégig”
Meggyőződésem, hogy mindez az Istenre figyelő tiszta gondolkozás témában itt a nap alatt zsákutcára futunk magunktól, és Isten kegyelméből kijelenti azt, ami elég nekünk erre az életre és kegyességre.
Összegezve: nem látok semmi okot leszólni Cantor halmazelméletét Isten ismeretének a nevében, sem a matematika, sem a teológia oldaláról nézve.
Ádám, „a görögös szemlélettel (konkrétan Arisztotelész dominanciájával és a ptolemaioszi világképpel) is, mert a megfigyelést előnyben részesítette a deduktív következtetéssel szemben, ami akkor uralkodott.”
Koncepció nélkül nincs megfigyelés. Nem lehet a megfigyeléseket előnyben részesíteni, mert azok csak értelmetlen adatok, ha nincs mögötte egy elmélet, ami magyarázza. Az igaz, hogy az elmélet és a megfigyelés közti módszertani kapcsolat csak később tisztult le. A keleti világ korábban nem pre-keresztény, hanem pre-görög állapotban volt. Azaz, a görögök kiegészítték az elméleti leírással a világ megismerését, míg a keletiek mindig is megmaradtak a konkrét dolgok konkrét leírásánál. Az újkori tudomány a skolasztikus hablaty, pl. „a Bibliából kell kiolvasni mindent” felett aratott győzelem, ami ha nem tévedek ugyanannyira keresztény, mint az ellentábor.
” Gödelt illeti: egyetlen keresztény sem gondolta soha azt, hogy Isten gondolatait és az ő munkáit teljes egészében felfoghatná, úgyhogy nincs itt probléma. ” — hát, azért egy kicsi baj van, mert nem arról van szól, hogy van egy végtelen elmélet, és persze ezt csiszolgathatjuk napestig, de a maga teljességében csak isten foghatja fel, mert a végtelennel csak isten rendelkezhet. Arról van inkább szó, hogy ha van Rend, akkor az a rend emberi eszközökkel nem írható le, azaz nem fogunk benne találni értelmet, struktúrát, mintázatot,… Ha van rend és a kezünkbe kerülne isten törvénykönyve, akkor az egy végtelen hosszú számunkra szükségképpen megfejthetetlen számhalmaz lesz, amiben ha találunk is mintázatot, az biztosan nem a lényeget fogja érinteni, csak egy véletlenszerű ismétlődés. Kb. olyan a helyzet, mintha a világot leíró törvények közül csak minden 2^n-ediket ismérnénk iszonyatos hézagokkal ezek között és telesen hiányzó kapcsolatokkal.
Ez a példa pont azt mutatja, hogy a tudomány mozgatója nem lehet a Rend létezése, legfeljebb a Rend létének illúziója. Ami viszont csak egy emberi kivetítés és nem a létező és ember által felfogható Rend delejes vonzereje.
„Azt viszont egyáltalán nem értem, amit a tudomány és a tudománymetodológia meg tudományszociológia összekeveréséről és Meyer hibbijéről (hobbijáról?) írsz.” — hobbi. 🙂 — Nos, a tudomány nem úgy működik, ahogy a tudományfilozófusok elvárják, a tudósok pedig általában elég gyenge tudományfilozófusok. Ez azért van, mert a természettudomány és a tudományfilozófia nagyon eltérő területek és kevesen vannak, akik mindkettő működését egyszerre tudják átlátni. A legrosszabb fajtából valók márpedig azok a tudományfilozófusok, akik teleologikusan állnak hozzá a kérdéshez. Pl. az apologéták, akiket nem a tudomány érdekel, hanem isten létének bizonyítása a tudományfejlődés alapján. Vagy pl. Carnap, aki a bécsi kör filozófiáját akarta látni a tudomány működésében. Ez olyan, mintha a tudomány nem azzal foglalkozna, hogy mik a kísérleti adatok, hanem hogy mit tartanak szükségszerűnek a hipotetikus elméteik szerint 🙂
@yuki,
örülök a hozzászólásodnak, mert most talán egy szinttel mélyebbre kerülni a vitában 🙂
Ami a skolasztikus hablatyot illeti, lényegében egyetértek, és a történelem során időről időre előjön, uralkodó paradigmától függetlenül… (ezzel semytiképpen nem akarom felmenteni a középkori skolasztikus hablatyot). Mondhatni minden uralkodóvá váló paradigma veszélye. Nekem gyanús, hogy a neodarwinizmus is eljutott oda, hogy már az ő esetükben is lehet már skolasztikus hablatyról beszélni…
Gődel esetében szerintem éppen arról van szó, amiről szerinted nincs 🙂
Ami pedig a Rendet illeti, nem értem, hogy
1. isten törvénykönyve miért kellene a teljes Rendet leírnia (nyilván illeszkednie kell a Rendbe, de lehet hogy a Rendnek csak egy szeletét találod a törvénykönyvben)?
2. nem értem, hogy miért ne találhatnánk benne struktúrát — legalábbis rész-strzktúrákat, ha nem is a Rend struktúráját teljes egészében?
3. odáig személyes meggyőződésből, de nem tudományos érvelés alapján még egyet is értek, hogy ha a Rend személytelen, és csak személytelen módon ismerhetjük meg, akkor alaposan meg vagyunk lőve az értelmezésében. De egészen más a helyzet, ha a Rend értelmesen tervezett, és van esély személyes kapcsolatra a tervezővel.
A tudományfilozófiát illetően nagyon más állásponton vagyunk. Körülbelül úgy térnek el a területek, mint az alkotmányjog eltér a jog többi területéről, ahol az alkotmányjog szerepe a tudományfilozófiáé, amely meghatározza a kereteket, amelyek közt az egyes tudományok értelmezhetőek, ahogy az Alaptörvény is meghatározza a kereteket, amelyek közt az egyes törvények és rendeletek értelmezhetőek…
Azzal egyetértek, hogy a tudományfilozófia nem válhat semmilyen apologetika (legyen az apologetika keresztény vagy neodarwinista vagy muszlim stb.) szolgájává. Maga a tudományfilozófus amúgy mellesleg lehet bármelyik társulat apologétája, de amikor tudományfilozófiát művel, akkor az egészet félre kell tegye legalább annyira, hogy a tudományfilozófiai érvelésében még implicit módon sem használhatja fel az apológiát.
A bécsi kör tudományfilozófiája meg már jópár évtizede erősen meghaladott, és akkor finoman fogalmaztam 🙂
@dzsaszper
1Kor,
20. Hol a bölcs? hol az írástudó? hol e világnak vitázója? Nemde nem bolondsággá tette-é Isten e világnak bölcseségét?
27. Hanem a világ bolondjait választotta ki magának az Isten, hogy megszégyenítse a bölcseket; és a világ erőtleneit választotta ki magának az Isten, hogy megszégyenítse az erőseket;
28. És a világ nemteleneit és megvetettjeit választotta ki magának az Isten, és a semmiket, hogy a valamiket megsemmisítse:
29. Hogy ne dicsekedjék ő előtte egy test sem.
30. Tőle vagytok pedig ti a Krisztus Jézusban, ki bölcseségül lőn nékünk Istentől, és igazságul, szentségül és váltságul:
31. Hogy, a mint meg van írva: A ki dicsekedik, az Úrban dicsekedjék.
Igaz ez minden olyan bölcselkedőre is, azt gondolja a tudomány megcáfolta, ha nem is istent általában, de a Bibliát mindenképpen. Ehhez pedig Cantor elméletének vélt következményei mindenképpen jó táptalajt adnak. Tisztában vagyok beágyazottsáágával, de mégis úgy gondoltam hogy van elég jel ahhoz, hogy érdemes legyen helyettesítőt keresni. Hozzászólásod jól mutatja, hogy milyen falakat kell ehhez leküzdenünk.
„Skolemmel kapcsolatos megjegyzésedre válaszolva megjegyezném, hogy hozzá szokták tenni azt, hogy minden természetes szám elérhető a kezdeti értékből rákövetkezésekkel.”
Ez így rendben is van, csak az nem mindegy, hogy ehhez kell-e Peano 5. axiómája vagy sem. Éles különbség van ugyanis azon természetes számok között, melyek 0-ból elérhetők Peano alkalmazásával és azok között melyekhez ehhez kell Peano 5. axiómája is.
Abban nincs vita, hogy Peano 1-4 leírja a standard természetes számokat. A kérdés, az, hogy menjünk-e tovább, s ha igen, akkor merre és hogyan.
A lehetőségek egymásra épülését a jelenleg a következő képpel tudom szemléltetni. A szemléltetés mögött persze mindig az axiomatizálhatóságra gondolj. Ezt e ponton nem tudom jobban megfogalmazni. A lépések nincsenek kirészletezve, csupán annyira, hogy ne legyen előrehivatkozás.
1. Vegyük Peano 1-4 alapján előállítható természetes számokat.
2. Határozzuk meg az ezekből előállítható racionális számokat.
3. Képzeljünk el a [0,1] egységszakaszt racionális pontokból.
4. Osszuk fel N már meglevő elemei között egyenletesen a [0,1] szakaszt.
5. Azt kapjuk, hogy N minden eleme a 0 helyre kerül. Könnyű ugyanis meggondolni, hogy bármilyen 1/n osztás azt jelentené, hogy n+1 már a szakaszon kívülre esne, ami elelntmondáshoz vezetne.
A kérdés, hogy (0,1] szakaszt minek a jelképének tekintjük. Különös tekintettel arra, hogy 0,1,2,3,.. sor elemei mind 0-ban vannak, míg az ahova állítólag tartanak, vagyis oo, 1-ben. A nehézséget jól mutatja, hogy akármekkora számo tis mondunk még mindig oo messze leszünk oo-től.
A lehetőségek:
1. 1-hez rendeljük a végtelent (oo). A többi ponthoz meg a végtelen arányos részét. Például 0,5-höz oo „felét”. Világos, hogy a oo aritmetika miatt ekkor (0,1] egységesen a oo-t jelképezi.
2. Rendeljük az 1 ponthoz a végtelent. Robinson után definiáljunk a (0,1) szakaszra egy L értéket. Ez ekkor definíció szerint nagyobb lesz, minden természetes számnál, de kisebb oo-nél. Könnyen meggondolható, hogy ekkor 1/L pozitív lesz, de kisebb minden pozitív racionális értéknél. Robinson erre építette fel infinitezimálisokra épülő nemstandard analízisét.
3. Nyilvánítsuk a (0,1)-et is a természetes számok leírói közé. Ez nem más mint Peano 5. axiómája.
Ez és semmi más nyilvánítja igazzá, hogy a 0,1,2,3,… sor oo-be tart. Ez Cantor és rajta keresztül Hilbert számértelmezése. A 0 pont a standard természetes számoké, míg (0,1) a nemstandard természetes számoké. Itt nagyon fontos észrevenni, hogy a nemstandard számok létezése tény, de azokhoz ezentúl semmilyen hozzáférést nem biztosít.
4. Ne csináljunk semmit. Maradjon meg Peano 1-4 és kész. Ez Brouwer matematikája. Hilbert ezt joggal keveselte és ezért választotta a 3. pontot. Hozzászólásod kritikai pontjai is főleg ezt az esetet érintik.
5. Úgy tűnhet, hogy nincs is több lehetőség. Pedig van. Rendeljük az 1 végponthoz a H szimbólumot (Hilbert tiszteletére, vagy N görög megfelelőjeként, teljesen mindegy), s nevezzük el a legnagyobb természetes számnak. Ne feledjük, hogy 0,1,2,3,… vagyis a standard természetes számok között nincs legnagyobb, de H-t a nemstandard természetes számok közt van. Ezután Ahogy H-ben van 0,1,2,3,… elem rákövetkezéssel, úgy definiáljuk 1-be megelőzéssel H-0,H-1,H-2,H-3,… értékeket. Ezután (0,1) intervallum minden q értékéhez rendeljük hozzá a következő alakú szintén nemstandard természetes számokat: …,qH-3, qH-2, qH-1, qH, qH+1, qH+2, qH+3,…
Ezzel a módszerrel (0,1] szakaszt feltöltöttük nemstandard természetes számokkal. További részleteket mellőzve ezt kiegészítjük azzal, hogy a racionális számokat is nemstandard módon bővítjük, mégpedig +m/H és -m/H alakú tagokat adva a természetes számokhoz, ügyelve hogy a 0 és H két szélső érték maradjon, ahol m standard természetes szám. Fontos, hogy itt csak H lehet a nevezőben! E bővítéssel ez a megközelítés 1/H alak képében magában foglalja 1/L-t vagyis alapból tartalmazza a nemstandard analízis megközelítését.
E modell lényegéhez tartozik, hogy csak véges aritmetikát használ! Ha már vannak nemstandard természetes számok akkor használjuk i őket, formalizáljuk őket. Hadd legyenek a szolgálatunkra. Ez a felfogás az amivel bátran nézek a jövőbe. Sokkal bővebb, mint Brouwer matematikája, de mégsem tartalmazza oo-t, így elkerüli annak minden problémáját.
„A valós számok elnevezés pedig a képzetes számokkal, komplex számokkal kontrasztban válik érthetővé amelyek egy jóval komplexebb modellt alkotnak, ami azonban sok helyen (elektrodinamikában pl.) jól használható.”
Nos szerintem a fent vázolt számfogalom bővítése C irányába nem ütközik akadályba: q+ri, ahol, q és r az iménti 5. pont szerinti racionális számok.
„Az pedig, hogy milyen axiómákból indulunk ki, nagyon nem mindegy, a Bolyai-féle nem-euklideszi geometria óta ez még inkább nyilvánvaló.”
Cayley-Klein modellje 9 síkgeometriát tartalmaz miután 3-3 lehetőség közül függetlenül lehet választani távolság illetve szög mértéket. Ezek között van Euklidész síkgeometriája éppen úgy, ahogy a Bolyai-Lobacsevszkij síkgeometria. Ez a 9 mind egymással ekvikonzisztens, azaz modellezhetőek egymásban. Ez azért van így, mert az axiómák érintik az alapfogalmak értelmét. Ez az amit nem szoktak észrevenni, pedig ez egy döntő dolog. Ha igyanis az alapfogalmak azonosak lennének, akkor 9 geometriánk lenne, így viszont 9 nyelvünk van ugyanahhoz az egy geometriához. Nem mindegy! Mert ha 9 nyelvünk van, akkor csupán arról van szól, hogy az egyes nyelvek mást értenek „távolság” és „szög” alatt. Mindegyik nyelven azonban meg lehet fogalmazni bármelyik másik „távolság” és „szög” fogalmát a saját nyelvén, s ezekkel a fogalmakkal már azok tételei is megkapatók. Ezt jelenti, hogy egymásban kölcsönösen modellezhetők, vagyis, hogy elvikonzisztensek. Ugyanarról van szó, mint Einstein és Lorenz esetében:(http://beszelo.c3.hu/cikkek/%E2%80%9Esemmiben-nem-nyujt-uj-vagy-mas-leirast-a-terrol-es-az-idorol%E2%80%9D)
A kontinuum esetére átvíve ott a nemstandard természetes számok fogalma az amire visszahat a két eset egyike melletti döntés, így ott se két ralatív igazságot kapunk, hanem az egy igazság két lehetséges leírását.
„2. ami a halmazok számosságát illeti, és azt, hogy mi az, hogy “ugyanannyian vannak, mint”, ha jól értem, nem tetszik az a definíció ami az egy-egyértelmű leképezésen alapul.
Ez a definíció alapján a számosságok valóban megegyeznek. De nem értem, miért nem tetszik neked ez a definíció és mit javasolsz helyette?”
Ha meggondolod a fenti alternatívákból a Cantor, Hilbert fémjelezte 3. pontot, leolvashatod mi az ami nem tetszik. Cantor a standard természetes számokon igaz tulajdonságot, Peano 5. axiómájával egyszerűen extrapolálja a nemstandard természetes számokra. Anélkül, hogy ezek közül akár egyetlen egyet is konkrétan meg lehetne legalább jelölni. Az 5. pontból pedig a javaslatom is világos. Véges aritmetika, véges párosítás tulajdonságai élnek. Nincsenek számosságok, mivel itt a nemstandard elemeket is meg tudjuk nevezni. Például: |N+| = H. |N|=H+1 Ez ugyan kívül esik N-en, de formailag megfelelő, s jól mutatja a hozzáállást.
„3. Ami a 0-val való osztást illeti, a legtöbb esetben elkerülhető. Sokszor két, 0-hoz tartó (de 0-t nem tartalmazó) sorozatból [a(n) -> 0, b(n) -> 0] képzett hányadossorozatról [ a(n)/b(n) -> ? ] van szó, amely hányadossorozat sokszor valóban büntetlenül számolható. Közben egyszer sem kellett nullával osztani. Remélem, nem ezt nevezed 0-val való osztásnak?”
Nullával osztáson azt értem, amikor valaki arra a kérdésre, hogy hány pontból áll egy adott szakasz, pontosságra törekvéstől függően azt mondja, hogy végtelen, vagy azt, hogy kontinuum sok, vagyis megszámlálhatatlanul végtelen. Mindkét esetben nulla „méretű”, azaz kiterjedés nélküli pontra gondolt, vagyis 0-val osztott. Képzeljük le megint a [0,1] szakasz felosztását, de most rendre 1,2,3,… egyenlő részre. Amikor ezzel „végeztünk”, jönnek a nemstandard elemekre való felosztások, melyek még mindig 0-nál nagyobb szakaszokat adnak, s csak ezután jöhetne a oo-nel való osztás, ami már kiterjedés nélküli pontokat adna. Alternatíva: a pont mérete legyen legalább 1/H. Mindjárt eltérő lesz a pontszám eltérő méretű objektumok esetében.
„4. Gödel nem-teljességi tétele arról szól, hogy nem lehet akármivel bővíteni a rendszert vég nélkül. Nem látom, hogy miért ne lehetne a rendszert vég nélkül bővíteni. Csak ki tudja, milyen irányba?”
Ez volt az általános vélekedés Cohen 1963-as eredményéig. Mivel Gödel korábban igazolta, hogy a kontinuum hipotézist igazként a rendszerbe véve nem hoz be ellentmondást, ha addig nem volt ott, azaz az irányt megtalálni látszott, azt várták, hogy valaki bizonyítja, hogy a másik irány viszont hoz. Cohen viszont azt találta, hogy az se hoz. Ez főleg akkor meglepő, ha nem gondoljuk meg, hogy a két eset szükségképpen mást ért nemstandard természetes számok alatt. Mert ekkor elfeledkezünk róla, hogy a két megközelítésnek ekvikonzisztensnek kell lennie, s arra a tévedésre juthatunk, hogy az igazság relatív.
Gyakran előfordul az is, hogy egymást kizárónak állítanak be két axiómát: B, ~B. Miközben a valódi választék: ~A, A => B, A => ~B. Ilyen a kontinuum hipotézis esete is. Ekkor B a kontinuum hipotézis. A pedig Cantor főtétele: |N|B, A=>~B. S mindhárom mást és mást fog nemstandard természetes számokon érteni. Tekintsünk 3 síkgeometriát. A: Minden egyenes metszi egymást. Ez a Riemann síkgeometria, vagy az elliptikus eset. Ha ~A áll fenn, akkor B: minden egyeneshez egy adott külső ponton keresztül pontosan egy egyenes húzható. Ez Eukleidész síkgeometriája. Végül ~A => ~B: Minden egyeneshez egy adott külső ponton keresztül több elpattanó húzható. Ez Bolyai-Lobacsevszkij síkgeometriája. Láthatjuk, A, ~A=>B, ~A=>~B a három esetünk, melyek nem zárják ki egymást. S igen, a három eset az egyenes alapfogalmat mind másképp érti.
Ha elfeledkezünk arról, – márpedig az általam ismert legtöbb ismeretterjesztő ezt teszi – hogy az irány megválasztása visszahat valamelyik alapfogalomra, hisz egy axióma éppen arra szolgál, hogy egy-egy tulajdonságát megadja az alapfogalomnak, akkor azt hihetjük, hogy az igazság relatív. Hiszen elindulhattunk jobbra is balra is, s egyik sem hozott a rendszerbe ellentmondást, ha addig nem volt ott. Ha viszont figyelembe vesszük e visszahatást, akkor máris marad az abszolút igazság, csupán több „nyelven” írhatjuk azt le. Poincaré volt az egyik úttörő, aki először modellezte egymásban a 3 síkgeometriát, kimutatva ezzel azt, hogy ekvikonzisztensek, vagyis nem más világokat írnak le, hanem ugyanazt a világot csak más nyelveken. (Ez bövül a Cayley-Klein modellben 9 egymással ekvikonzisztens síkgeometriára.
Térjünk megint vissza a [0,1] szakasz példájára.
A: Elég nekünk a 4. eset. (Peano 1-4.)
~A => B, ahol B a végtelen (oo) bevezetése. Peano 5. axiómája tulajdonképpen egy axiómaséma. Minden egyes tulajdonsághoz rendelhetünk egy axiómát vele. Itt arra a tulajdonságra értelmezzük, mely a 0,1,2,3,… sort oo-ig „repíti”. A séma e konkrét alkalmazása itt a B. Az axióma ekkor nem tesz mást, mint a standard elemeken igaz tulajdonságot kiterjeszti a nemstandard elemekre is, így biztosítva a oo határértéket.
~A => B => C, ahol C Cantor párosításának bevezetése, vagyis hogy a végtelen halmazok párba állíthatók saját valódi részhalmazukkal. A naiv megfontolás, csak a 0-ban ábrázolt, vagyis a 4. pontbeli természetes számokra igaz. Megint csak az axióma sémát kell alkalmazni, hogy ezt a tulajdonságot igaznak nyilvánítsuk a nemstandard természetes számokra is. Ez az alkalmazás ekkor C.
~A => B => C => D, ahol D Cantor főtétele: |N| B => C => D => E, ahol E a kontinuum hipotézis. Érdekes, hogy E-t állítják be, mint első független állítást. Ennek oka elégé tiszta előttem. A valós számok R halmaza a naiv felfogás szerint a standard számfogalom része. Értsd: Minden nemstandard számfogalom csak ezt bővítheti. Márpedig R együtt jár, ~A,B,C és D elfogadásával. E felfogás szerint tehát E az első független állítás. Ám túl komolyan nem is kell utána nézni, hogy észrevegyük, hogy a standard eset valójában Q, amit a 4. pontra építhetünk fel. Ebből R-hez egy új axiómával jutunk, aminek neve felső határ axióma, jelöljük ezt F-fel. ~A => B => F => E.
Van tehát két „következtetési láncunk”, melynek minden tagja független választás eredménye!
~A => B => C => D => E
~A => B => F => E
Világos, hogy akár a A-nál leállhatunk, de a lánc bármelyik későbbi pontján is, szabadon indulhatunk el a másik irányba. Ez Peano axióma sémája esetén a Napnál világosabb, hiszen csak T helyett ~T tulajdonságot kell a nemstandard természetes számokra igaznak nyilvánítani. Például: a standard természetes számokra értelmezett a páros, páratlan tulajdonság. A nem standardokra előírhatjuk, hogy rájuk ne legyen értelmezve. Persze azt is előírhatjuk, hogy értelmezve legyen.
A saját javaslatom, a ~A => ~B eset egy lehetséges konkrét megvalósítása. A véges aritmetikán belül maradva, annak határait tágítom ki amennyire csak lehetséges. A oo ideális elem helyett H ideális elemet vezetem be.
A geometria és a számelmélet/analízis esetei között van egy döntő különbség. Míg a geometria tárgy „megfogató”, az egyenes, s így az axiómák hatása „azonnal” észlelhető, addig a számelmélet/analízis esetében a hatás csak a nemstandard számokat érinti, ahol talán ez a visszahatás nem annyira feltűnő, könnyű átsiklani felette, könnyű elfelejteni, hogy a másik irány is egyenrangú vele, s hogy nem a valóságot relativizáljuk, hanem az abszolút valósághoz alkotunk újabb és újabb nyelveket, melyek egymással ekvikonzisztensek.
A kontinuum hipotézis Hilbert 1 problémája volt. (1900-ban egy híres beszédében a szerinte a XX. században megoldandó legfontosabb matematikai problémák 23 elemű listáját is elmondta.) Nézzük meg most a 10. problémát! Az eredménye megint csak nagy meglepetés volt. Nem létezik diofantoszi egyenleteket megoldó általános algoritmus. A fentiek ismerete nélkül az ember ezt az eredményt egyszerűen fel sem foghatja. A csak standard természetes számokban utazó tudhatja, hogy van módszer a változók szisztematikus átnézéséhez, s így ha van megoldás ezzel az általános módszerrel az megtalálható, s ez algoritmizálható is. (A módszer mintája Cantor Q cikk-cakk bejárása.) A nemstandard jelen kell legyen. Ám ekkor ez az algoritmusokra magukra is érvényes. Erősen valószínűnek gondolom, hogy Matijasevics eredménye arra vonatkozik, hogy nincs olyan standard algoritmus, mely általánosan megoldana nemstandard elemeket tartalmazó diofantoszi egyenleteket. Nos valójában olyan sincs amelyik akárcsak egyet megoldana. Egy diofantoszi egyenlet ugyanis a következő három esetben tud nemstandard lenni: Van benne olyan együttható, mely nemstandard. Van benne olyan változó amelyiknek a megoldási értéke nemstandard. Ez a két eset még kezelhető azzal, ha a nemstandard elemekre lehet hivatkozni. A harmadik eset: a diofantoszi egyenlet maga nemstandard számú tagból áll. Ezt már egy standard algoritmus sem képes kezelni. Ott lenne ugyan a diofantoszi egyenlet az inputszalagján, de nem jutna soha a végére. Miközben az nem lenne végtelen input! Ezen is érdemes elgondolkodni! Adott egy nem végtelen jelsorozat, aminek nem lehet véges lépésben a végére jutni!
A végesnek van egy tulajdonsága, hogy nem lehet a végére jutni. Ha ugyanis lehetne, akkor oo-t standard úton elérhetnénk. Ha a (0,1) szakaszt tekintjük, s azon a megszokott módon elérhetnénk (0,1) bármely q pontját n standard véges lépésében, akkor (1/q) * n szintén standard véges lépésben elérhetnénk 1-be, ami ellentmondás. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a végesnek a 0-ad részét tudjuk csak megszámolni. Ez a standard rész. Hogy jön ez ki? A véges feléig el tudunk számolni? Nem. A negyedéig? Nem. Hányad részéig tudunk? Sehányadik. Vegyük észre, hogy |N| standard részének megszámolása következik Peano 1-4-ból. A nemstandard elemekre azonban ez megint csak Peano axiómaséma alkalmazásával terjeszthető ki. (Láttuk ez volt korábban a C pont)
Ebből kifolyólag naiv az az elképzelés, hogy ami nem standard véges az mindjárt végtelen. „A létezik olyan halmaz mely nem véges.” állítás gyakran szerepel úgy, mint a végtelen halmaz axiómája. Azonban ezt is érdemes felbontani:
A: létezik standard véges halmaz.
B: létezik nemstandard véges halmaz
C: létezik olyan halmaz, mely nem véges. (azaz nem standard véges és nem is nemstandard véges).
Axióma szinten mindhárom kimondható. Elvileg C kimondható lenne A felett is, de a végtelen halmaznak pont olyanok a tulajdonságai, hogy A és C között lennie kell még valaminek. A javaslatom értelmezhető úgy, hogy B-t válasszuk meg úgy, hogy C-re már ne legyen szükség.
Csak érdekességképpen említem meg, hogy a máig megoldatlan P=?NP kérdést is jó lenne a standard – nemstandard megközelítéssel szemlélni. Vagyis a feladat kiírása lehet, hogy pontosításra szorul.
„5. azzal, hogy mi lenne, ha ennek az eldönthetetlen állításnak ezt az értéket választanánk, annak meg azt, a harmadiknak meg amazt, elég kevés és bizonyos szempontból eléggé elvetemült matematikus foglalkozik csak. Itt persze tényleg érdekes kérdés az állítások függetlensége, de erről még igen keveset tudunk, és amikor eldönthetetlen állításokkal játszunk, pláne többel egyszerre, érhetnek még minket nagy meglepetések…”
A modern felfogás azt mondja, hogy minden matematikus elvileg saját matematikáját találja fel. Ez odáig megy, hogy van aki azt mondja, hogy két matematikus tulajdonképpen képtelen egymással szót váltani. Sosem lehet ugyanis tudni, melyik mit is ért a használt fogalmakon. Ez a felfogás azonban nem veszi figyelembe, hogy az axiómák azok melyek megadják az alapfogalmak jelentését. Ha tehát van két matematikus, akkor egymás axiómarendszerét a sajátjukon belül modellezve egyben a másik alapfogalmait is modellezik, s képesek a másik tételeit is rekonstruálni. Azt a technikai nehézséget persze még át kell lépni, hogy mindegyik a maga jelölés rendszerét használja. Ám ha ezeket csak jelek és manipulációk leírásának tekintjük, akkor ezzel sem lehet gond.
Ekkor viszont a matematikusok nem új matematikákat találnak fel, hanem csak új nyelveket a Matematika egy-egy részéhez. Vagyis „csak” felfedeznek. Cantor esete a halmazelmélettel jól mutatja, hogy az igazi feltalálás ellentmondáshoz vezet. A kezelése is nem minden tanulság nélküli. Naivnak titulálták a matematikához való addigi hozzáállást. Immár nem axiómákat kerestek egy matematikai objektumhoz, hanem az axiómákat tették az első helyre, s immár azok mondják meg mi tartozik az adott matematikai objektumhoz és mi nem. Ám ha tudjuk, hogy az axiómák az alapfogalom leírására valók, akkor ezek a rendszerek vagy egymásba fordíthatóak, vagy önellentmondásosak. Ha önellentmondásosak akkor nem részei a matematikának. (Ahogy a flogiszton sem a tudománynak.) Egy matematikus elindulhat feltaláló útra, de vagy ellentmondásba keveredik, vagy amit kap az egy új nyelv a Matematika egy részére, nem pedig önálló relatív matematika. Ebből következően például a halmaz fogalma is leírható a régi naiv módon. Csak figyelni kell az apró részletekre és a halmaz mellé a részt kell alapfogalommá tenni és nem az eleme fogalmat. Az utóbbit kell az előbbiből származtatni és nem fordítva. Vagyis továbbra is van értelme egy-egy matematikai objektumról beszélni, s azt leíró nyelvekről, azaz axiómarendszerekről. Azaz a matematikát mind felfedezzük, amiben szabadságunk van a nyelvek feltalálása hozzá.
Hasonlóan Isten is többféle „nyelven” közelíthető meg, de minden olyan kísérlet, mely vindikálja a jogot Isten meghatározására, s ellentétes a bibliai istenképpel szükségképpen önellentmondáshoz vezet. Istent leíró nyelvek keresése valódi teológiai tudomány. Istenek önálló definiálása ellenben nem tudomány, végezze azt akárhány teológus. Ezt is könnyű lemérni. Ha a Biblia akár egyetlen igéjét is hamisnak találja az adott önálló meghatározás, akkor az nem teológiai elmélet, hanem valami önellentmondó emberi okoskodás. Nem keverendő azzal az esettel, amikor a törekvés meg van, de az ember olyan igébe ütközik, ami nem látszik a rendszerébe illeszthetőnek. Ekkor ugyanis a Bibliának ad igazat, de elismeri, hogy elakadt. Az utóbbi tulajdonképpen elfogadja a Biblia minden igazságát, de ezeket nem tudja együtt értelmezni. Az Istennel megbékélt ember jellemvonása ez. Istennél az igazság én csak megpróbálok minél többet megérteni belőle. A hiba nálam van, ha elakadtam. Az előbbi viszont fogja a Biblia állításait, s tulajdonképpen szabadon válogat köztük, hogy melyiket tekintse igaznak, melyiket hamisnak. Ez a lázadó ember magatartása, aki megmondja mi a jó, és ezzel persze azt is mi a rossz. A fentiekből kiderült, hogy a matematikai párhuzam bár erősnek látszik, nem alkalmazható. Nincsenek egymást kizáró matematikák, csak az egy Matematikának különböző nyelven való leírásai.
Ha az ember ezeket szem előtt tartja, akkor számos meglepetést elkerülhet. A Hausdorff-Banach-Tarski paradoxon például egy olyan meglepetés, amiből tudni kellene arra következtetni, hogy az ember rosszul válogatta össze az axiómáit, például az axiómasémái T tulajdonságai nem férnek meg egymással.
„6. a végtelen fogalmát meg lehet próbálni kihajítani, de akkor vele együtt kihajítjuk a fizika zömét, közte az elektrodinamikát is, és akkor kb. vele együtt hajítod ki a számítógépedet is amiről kommentelsz A hétköznapi életben annyi minden találmány épült végső soron ezekre a matematikai modellekre, amiket aligha akarsz kidobni ”
Elektrodinamikán nyilván a QED-t, vagyis a kvantum-elektrodinamikát érted. Ez első közelítésben valóban végtelen dimenziós térrel modellezhető. Ám ekkor egy sor nem várt végtelen lép fel benne, amit renormálással lehet mesterségesen kirúgni. A QCD kvantum-színdinamika esetében azonban már ez sem segít. Nem renormálható. Ezek a kvantumtérelmélet szerinti modellek, ahol a tér folytonos. A mai modern megközelítés kvantumrácselméletekkel dolgozik. Ebben a tér maga is kvantált. Például nem keletkezhet foton akármilyen közel egymáshoz sem időben, sem térben, hanem van egy minimális „távolság”. Ez maga a kvantumrács. S mindjárt nem hogy végtelen nincs sehol, s így renormálni sem kell, de átugorva a nemstandard értékeket, a rácsok mérete rögtön standard szám. Vagyis Brouwer korlátozott számaival is ki lehet benne bármit számolni. Figyelmed ajánlok egy Polónyi János interjút. Főleg az „Ez valóban ijesztő probléma …” kezdetű választ. http://wwwold.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0704/hajdu0704.html Vagy egy másik rövid írást, ami megmutatja, hogy ha a Planck-állandót 0-ba, a maximális sebességet meg végtelenbe visszük, akkor hogyan omlik össze az teljes fizika, vagyis mennyire nem lehet a valóság leírása. http://www.termeszetvilaga.hu/fizika_eve/fizika/lovas.html
Ne feledjük, a 0,1,2,3,.. sor önmagában nem tart oo-be! Saját tagjain fut végig vég nélkül, és semmi több. A nemstandard természetes számokat kell elfogadni és feltenni axiómával, hogy a sor ezek elemein is végig fut, hogy valóban „elérjünk” végtelenhez. Így a oo-re épülő folytonos klasszikus eset a standard kvantumokra épülő kvantummechanikai megközelítéssel nem közelíthető, csak ha közéjük „képzeljük” a nemstandard kvantumú eseteket is.
Az természetesen igaz, hogy oo elvetése önmagában kevés, de mint fentebb látható megadtam az alternatívát. Ráadásul a kvantumrácselmélethez elegendő a standard számfogalom önmagában, vagyis Brouwer megközelítése. Gyakorlatban ez mindig elég, hisz számolni csak ezt lehet. Az egy másik kérdés, hogy az összeg elhanyagolt tagjai valóban léteznek-e mind (végnélküli eset) vagy van egy utolsó tag, (kvantált eset). Ez utóbbi esetben a pontosabb számítás már egyenesen túllő a célon, olyan tagokat is összegezve, melyek a valóságban már nincsenek ott.
„7. A véges matematikának neki lehet futni, de nagy kérdés az, hogy a többi természettudománynak, akárcsak a fizikának elegendő lesz-e, amit le sikerül vele írni?”
A fentieken túl figyelmedbe ajánlom Weierstrass és Cauchy nevével fémjelzett szigorúság forradalmát. Ebben például egy sor divergenciája a oo említése nélkül van megadva. Tetszőleges (standard) N értékhez van olyan (standard) n érték, hogy a sorozat minden n-nél nagyobb sorszámú tagja nagyobb, mint N. A szigorúság forradalmának egy másik érdekessége, hogy Q halmazra önmagában igazzá válnak a folytonosság definíciói. (Cauhy, Heine). Vagyis immár a nem racionális számok nélkül is folytonos a számegyenes, e modern definíció szerint. A modern analízis pedig Weierstrass forradalmára építenek, így a végtelen hiánya alójában semmilyen proglémát nem jelent. Amit ehhez H bevezetése jelent oo helyett, a oo/oo, oo – oo és más határértékek pontosabb kezelése, immár oo nélkül. Ne feledjük H véges, de nemstandard! A standard elég a számításokhoz, de az elméleti egységhez mindig kell valami nemstandard is. Úgy vélem, hogy ha a probléma gyökerét megkeressük, akkor annak leírására a nemstandard véges mindig elegendő.
A szigorúság forradalma értelmezhető úgy, hogy minden megengedett csak a (0,oo) fémjeleze határeset nem. Epszilont választhatod bármilyen kicsinek, de 0-nak nem. N-t bármilyen nagynak, de oo-nek nem.
„ami pedig az Istenre figyelő, tiszta gondolkodást illeti, elfelejtkezel valamiről, ami ilyen gondolkodás mellett valami hasonlót mond ki, mint Gödel nem teljességi tétele: “„Nincsen igaz ember egy sem, nincsen, aki értse, nincsen, aki keresse Istent.” Pál is azt írja, hogy az akarás megvan benne, de a véghezvitelt nem találja. Vagy azt, amit a Prédikátor mond: “Láttam a foglalatosságot, melyet adott Isten az emberek fiainak, hogy fáradozzanak benne. Mindent szépen csinált az ő idejében, e világot is adta az emberek elméjébe, csakhogy úgy, hogy az ember meg nem foghatja mindazt a dolgot, amit az Isten cselekszik kezdettől fogva mindvégig””
Erre a válasz is ott van a Bibliában. Egy ember sem keresi Istent, de Isten megkeresi azt akit akar, s megértéssel ajándékozza meg: 1Kor2,12 „Mi pedig nem e világnak lelkét vettük, hanem az Istenből való Lelket; hogy megismerjük azokat, a miket Isten ajándékozott nékünk. ” Ez a lázadását feladó ember esete. Isten azonban ennél többet is tesz. Általános kegyelme része, hogy időnként rávezeti az embereket, hogy feladjanak egy-egy addig dédelgetett paradigmát. S lám a tudományterület ugrásszerű fejlődése követi ezt a tettet. Ám ennek során a materialista megközelítés egyre inkább egy gondolat rekonstruálásába megy át, ahogy ezt James Jeans is megfogalmazta, amikor a megismert világot egyre inkább egy gondolathoz hasonlónak mondta. A Polónyi interjúban erre utalt az a kitétel is, hogy a kvantummechanika el kellett volna vezessen a materialista pozitivista szemlélet válságához.
„Meggyőződésem, hogy mindez az Istenre figyelő tiszta gondolkozás témában itt a nap alatt zsákutcára futunk magunktól, és Isten kegyelméből kijelenti azt, ami elég nekünk erre az életre és kegyességre.”
Átgondolva, mivel itt az általános kegyelem területén vagyunk helyesebb Isten helyett inkább a logikus jelekre odafigyelni. A tudomány felfedezése olyan, mint egy útvesztő, ahol azért ha egy egy ponton jó felé indulunk el, akkor van némi visszajelzés. Gondolok itt például arra, hogy Einstein elméletével több gyakorlati esetre kapunk használható eredményt, mint Newton elmélete esetében.
Ugyanakkor amikor azzal szembesülünk, hogy 1 = 2, még ha olyan agyafúrt formában is, mint a Hausdorff-Banach-Tarski paradoxon, akkor ott érdemes elgondolkodni, hogy valahol menet közben eltévedtünk. Gondolom találkoztál azzal a közhellyel, hogy a tudomány megcáfolta Istent, de ha mást nem a Bibliát mindenképpen. Az ezt hitelesítő tudósoké a legnagyobb felelősség, de aki ezt nekik elhiszi sem lesz menthető. Mert ilyen jelek állnak előttük. 1 = 2. Ha x*1=x*2 egyszerűsítsünk x-el: 1=2 esetet látja, akkor azonnal felkiált, hogy állj, 0-val nem osztunk! Ám ugyanezt tételként ünnepli, ha egy gömb kettőzéséről van szó. Pedig a nem mérhető részekre való felosztás a nullával való osztás virágnyelven.
„Összegezve: nem látok semmi okot leszólni Cantor halmazelméletét Isten ismeretének a nevében, sem a matematika, sem a teológia oldaláról nézve.”
Lánczos Kornél, Einstein egyik matematikusa jól fogalmazza meg az a váltást, amit Cantor képviselt. http://members.iif.hu/visontay/ponticulus/rovatok/hidverok/lanczos.html Jól látszik belőle, hogy Cantor is kiterjedés nélküli pontokban gondolkodott, s így aktualizálta a végtelent, mondván a szakaszok létező dolgok, és ténylegesen végtelen pontjuk van. Ami itt valójában kritika illethet az a következmények kezelésének a története. Beleértve Hilbert programját is, ami végül Göldel eredményeivel szétzúzatott, de minimum holtpontra jutott. Az egész történetre rányomja a bélyegét az a tévhit hogy vagy Brouwer, vagy Cantor. A fentiek arról is szóltak, hogy van köztes út. A történetet ennek a fényében érdemes átgondolni.
@dzsaszper
1Kor,
20. Hol a bölcs? hol az írástudó? hol e világnak vitázója? Nemde nem bolondsággá tette-é Isten e világnak bölcseségét?
27. Hanem a világ bolondjait választotta ki magának az Isten, hogy megszégyenítse a bölcseket; és a világ erőtleneit választotta ki magának az Isten, hogy megszégyenítse az erőseket;
28. És a világ nemteleneit és megvetettjeit választotta ki magának az Isten, és a semmiket, hogy a valamiket megsemmisítse:
29. Hogy ne dicsekedjék ő előtte egy test sem.
30. Tőle vagytok pedig ti a Krisztus Jézusban, ki bölcseségül lőn nékünk Istentől, és igazságul, szentségül és váltságul:
31. Hogy, a mint meg van írva: A ki dicsekedik, az Úrban dicsekedjék.
Igaz ez minden olyan bölcselkedőre is, azt gondolja a tudomány megcáfolta, ha nem is istent általában, de a Bibliát mindenképpen. Ehhez pedig Cantor elméletének vélt következményei mindenképpen jó táptalajt adnak. Tisztában vagyok beágyazottsáágával, de mégis úgy gondoltam hogy van elég jel ahhoz, hogy érdemes legyen helyettesítőt keresni. Hozzászólásod jól mutatja, hogy milyen falakat kell ehhez leküzdenünk.
„Skolemmel kapcsolatos megjegyzésedre válaszolva megjegyezném, hogy hozzá szokták tenni azt, hogy minden természetes szám elérhető a kezdeti értékből rákövetkezésekkel.”
Ez így rendben is van, csak az nem mindegy, hogy ehhez kell-e Peano 5. axiómája vagy sem. Éles különbség van ugyanis azon természetes számok között, melyek 0-ból elérhetők Peano alkalmazásával és azok között melyekhez ehhez kell Peano 5. axiómája is.
Abban nincs vita, hogy Peano 1-4 leírja a standard természetes számokat. A kérdés, az, hogy menjünk-e tovább, s ha igen, akkor merre és hogyan.
A lehetőségek egymásra épülését a jelenleg a következő képpel tudom szemléltetni. A szemléltetés mögött persze mindig az axiomatizálhatóságra gondolj. Ezt e ponton nem tudom jobban megfogalmazni. A lépések nincsenek kirészletezve, csupán annyira, hogy ne legyen előrehivatkozás.
1. Vegyük Peano 1-4 alapján előállítható természetes számokat.
2. Határozzuk meg az ezekből előállítható racionális számokat.
3. Képzeljünk el a [0,1] egységszakaszt racionális pontokból.
4. Osszuk fel N már meglevő elemei között egyenletesen a [0,1] szakaszt.
5. Azt kapjuk, hogy N minden eleme a 0 helyre kerül. Könnyű ugyanis meggondolni, hogy bármilyen 1/n osztás azt jelentené, hogy n+1 már a szakaszon kívülre esne, ami elelntmondáshoz vezetne.
A kérdés, hogy (0,1] szakaszt minek a jelképének tekintjük. Különös tekintettel arra, hogy 0,1,2,3,.. sor elemei mind 0-ban vannak, míg az ahova állítólag tartanak, vagyis oo, 1-ben. A nehézséget jól mutatja, hogy akármekkora számo tis mondunk még mindig oo messze leszünk oo-től.
A lehetőségek:
1. 1-hez rendeljük a végtelent (oo). A többi ponthoz meg a végtelen arányos részét. Például 0,5-höz oo „felét”. Világos, hogy a oo aritmetika miatt ekkor (0,1] egységesen a oo-t jelképezi.
2. Rendeljük az 1 ponthoz a végtelent. Robinson után definiáljunk a (0,1) szakaszra egy L értéket. Ez ekkor definíció szerint nagyobb lesz, minden természetes számnál, de kisebb oo-nél. Könnyen meggondolható, hogy ekkor 1/L pozitív lesz, de kisebb minden pozitív racionális értéknél. Robinson erre építette fel infinitezimálisokra épülő nemstandard analízisét.
3. Nyilvánítsuk a (0,1)-et is a természetes számok leírói közé. Ez nem más mint Peano 5. axiómája.
Ez és semmi más nyilvánítja igazzá, hogy a 0,1,2,3,… sor oo-be tart. Ez Cantor és rajta keresztül Hilbert számértelmezése. A 0 pont a standard természetes számoké, míg (0,1) a nemstandard természetes számoké. Itt nagyon fontos észrevenni, hogy a nemstandard számok létezése tény, de azokhoz ezentúl semmilyen hozzáférést nem biztosít.
4. Ne csináljunk semmit. Maradjon meg Peano 1-4 és kész. Ez Brouwer matematikája. Hilbert ezt joggal keveselte és ezért választotta a 3. pontot. Hozzászólásod kritikai pontjai is főleg ezt az esetet érintik.
5. Úgy tűnhet, hogy nincs is több lehetőség. Pedig van. Rendeljük az 1 végponthoz a H szimbólumot (Hilbert tiszteletére, vagy N görög megfelelőjeként, teljesen mindegy), s nevezzük el a legnagyobb természetes számnak. Ne feledjük, hogy 0,1,2,3,… vagyis a standard természetes számok között nincs legnagyobb, de H-t a nemstandard természetes számok közt van. Ezután Ahogy H-ben van 0,1,2,3,… elem rákövetkezéssel, úgy definiáljuk 1-be megelőzéssel H-0,H-1,H-2,H-3,… értékeket. Ezután (0,1) intervallum minden q értékéhez rendeljük hozzá a következő alakú szintén nemstandard természetes számokat: …,qH-3, qH-2, qH-1, qH, qH+1, qH+2, qH+3,…
Ezzel a módszerrel (0,1] szakaszt feltöltöttük nemstandard természetes számokkal. További részleteket mellőzve ezt kiegészítjük azzal, hogy a racionális számokat is nemstandard módon bővítjük, mégpedig +m/H és -m/H alakú tagokat adva a természetes számokhoz, ügyelve hogy a 0 és H két szélső érték maradjon, ahol m standard természetes szám. Fontos, hogy itt csak H lehet a nevezőben! E bővítéssel ez a megközelítés 1/H alak képében magában foglalja 1/L-t vagyis alapból tartalmazza a nemstandard analízis megközelítését.
E modell lényegéhez tartozik, hogy csak véges aritmetikát használ! Ha már vannak nemstandard természetes számok akkor használjuk i őket, formalizáljuk őket. Hadd legyenek a szolgálatunkra. Ez a felfogás az amivel bátran nézek a jövőbe. Sokkal bővebb, mint Brouwer matematikája, de mégsem tartalmazza oo-t, így elkerüli annak minden problémáját.
„A valós számok elnevezés pedig a képzetes számokkal, komplex számokkal kontrasztban válik érthetővé amelyek egy jóval komplexebb modellt alkotnak, ami azonban sok helyen (elektrodinamikában pl.) jól használható.”
Nos szerintem a fent vázolt számfogalom bővítése C irányába nem ütközik akadályba: q+ri, ahol, q és r az iménti 5. pont szerinti racionális számok.
„Az pedig, hogy milyen axiómákból indulunk ki, nagyon nem mindegy, a Bolyai-féle nem-euklideszi geometria óta ez még inkább nyilvánvaló.”
Cayley-Klein modellje 9 síkgeometriát tartalmaz miután 3-3 lehetőség közül függetlenül lehet választani távolság illetve szög mértéket. Ezek között van Euklidész síkgeometriája éppen úgy, ahogy a Bolyai-Lobacsevszkij síkgeometria. Ez a 9 mind egymással ekvikonzisztens, azaz modellezhetőek egymásban. Ez azért van így, mert az axiómák érintik az alapfogalmak értelmét. Ez az amit nem szoktak észrevenni, pedig ez egy döntő dolog. Ha igyanis az alapfogalmak azonosak lennének, akkor 9 geometriánk lenne, így viszont 9 nyelvünk van ugyanahhoz az egy geometriához. Nem mindegy! Mert ha 9 nyelvünk van, akkor csupán arról van szól, hogy az egyes nyelvek mást értenek „távolság” és „szög” alatt. Mindegyik nyelven azonban meg lehet fogalmazni bármelyik másik „távolság” és „szög” fogalmát a saját nyelvén, s ezekkel a fogalmakkal már azok tételei is megkapatók. Ezt jelenti, hogy egymásban kölcsönösen modellezhetők, vagyis, hogy elvikonzisztensek. Ugyanarról van szó, mint Einstein és Lorenz esetében:(http://beszelo.c3.hu/cikkek/%E2%80%9Esemmiben-nem-nyujt-uj-vagy-mas-leirast-a-terrol-es-az-idorol%E2%80%9D)
A kontinuum esetére átvíve ott a nemstandard természetes számok fogalma az amire visszahat a két eset egyike melletti döntés, így ott se két ralatív igazságot kapunk, hanem az egy igazság két lehetséges leírását.
„2. ami a halmazok számosságát illeti, és azt, hogy mi az, hogy “ugyanannyian vannak, mint”, ha jól értem, nem tetszik az a definíció ami az egy-egyértelmű leképezésen alapul.
Ez a definíció alapján a számosságok valóban megegyeznek. De nem értem, miért nem tetszik neked ez a definíció és mit javasolsz helyette?”
Ha meggondolod a fenti alternatívákból a Cantor, Hilbert fémjelezte 3. pontot, leolvashatod mi az ami nem tetszik. Cantor a standard természetes számokon igaz tulajdonságot, Peano 5. axiómájával egyszerűen extrapolálja a nemstandard természetes számokra. Anélkül, hogy ezek közül akár egyetlen egyet is konkrétan meg lehetne legalább jelölni. Az 5. pontból pedig a javaslatom is világos. Véges aritmetika, véges párosítás tulajdonságai élnek. Nincsenek számosságok, mivel itt a nemstandard elemeket is meg tudjuk nevezni. Például: |N+| = H. |N|=H+1 Ez ugyan kívül esik N-en, de formailag megfelelő, s jól mutatja a hozzáállást.
„3. Ami a 0-val való osztást illeti, a legtöbb esetben elkerülhető. Sokszor két, 0-hoz tartó (de 0-t nem tartalmazó) sorozatból [a(n) -> 0, b(n) -> 0] képzett hányadossorozatról [ a(n)/b(n) -> ? ] van szó, amely hányadossorozat sokszor valóban büntetlenül számolható. Közben egyszer sem kellett nullával osztani. Remélem, nem ezt nevezed 0-val való osztásnak?”
Nullával osztáson azt értem, amikor valaki arra a kérdésre, hogy hány pontból áll egy adott szakasz, pontosságra törekvéstől függően azt mondja, hogy végtelen, vagy azt, hogy kontinuum sok, vagyis megszámlálhatatlanul végtelen. Mindkét esetben nulla „méretű”, azaz kiterjedés nélküli pontra gondolt, vagyis 0-val osztott. Képzeljük le megint a [0,1] szakasz felosztását, de most rendre 1,2,3,… egyenlő részre. Amikor ezzel „végeztünk”, jönnek a nemstandard elemekre való felosztások, melyek még mindig 0-nál nagyobb szakaszokat adnak, s csak ezután jöhetne a oo-nel való osztás, ami már kiterjedés nélküli pontokat adna. Alternatíva: a pont mérete legyen legalább 1/H. Mindjárt eltérő lesz a pontszám eltérő méretű objektumok esetében.
„4. Gödel nem-teljességi tétele arról szól, hogy nem lehet akármivel bővíteni a rendszert vég nélkül. Nem látom, hogy miért ne lehetne a rendszert vég nélkül bővíteni. Csak ki tudja, milyen irányba?”
Ez volt az általános vélekedés Cohen 1963-as eredményéig. Mivel Gödel korábban igazolta, hogy a kontinuum hipotézist igazként a rendszerbe véve nem hoz be ellentmondást, ha addig nem volt ott, azaz az irányt megtalálni látszott, azt várták, hogy valaki bizonyítja, hogy a másik irány viszont hoz. Cohen viszont azt találta, hogy az se hoz. Ez főleg akkor meglepő, ha nem gondoljuk meg, hogy a két eset szükségképpen mást ért nemstandard természetes számok alatt. Mert ekkor elfeledkezünk róla, hogy a két megközelítésnek ekvikonzisztensnek kell lennie, s arra a tévedésre juthatunk, hogy az igazság relatív.
Gyakran előfordul az is, hogy egymást kizárónak állítanak be két axiómát: B, ~B. Miközben a valódi választék: ~A, A => B, A => ~B. Ilyen a kontinuum hipotézis esete is. Ekkor B a kontinuum hipotézis. A pedig Cantor főtétele: |N|B, A=>~B. S mindhárom mást és mást fog nemstandard természetes számokon érteni. Tekintsünk 3 síkgeometriát. A: Minden egyenes metszi egymást. Ez a Riemann síkgeometria, vagy az elliptikus eset. Ha ~A áll fenn, akkor B: minden egyeneshez egy adott külső ponton keresztül pontosan egy egyenes húzható. Ez Eukleidész síkgeometriája. Végül ~A => ~B: Minden egyeneshez egy adott külső ponton keresztül több elpattanó húzható. Ez Bolyai-Lobacsevszkij síkgeometriája. Láthatjuk, A, ~A=>B, ~A=>~B a három esetünk, melyek nem zárják ki egymást. S igen, a három eset az egyenes alapfogalmat mind másképp érti.
Ha elfeledkezünk arról, – márpedig az általam ismert legtöbb ismeretterjesztő ezt teszi – hogy az irány megválasztása visszahat valamelyik alapfogalomra, hisz egy axióma éppen arra szolgál, hogy egy-egy tulajdonságát megadja az alapfogalomnak, akkor azt hihetjük, hogy az igazság relatív. Hiszen elindulhattunk jobbra is balra is, s egyik sem hozott a rendszerbe ellentmondást, ha addig nem volt ott. Ha viszont figyelembe vesszük e visszahatást, akkor máris marad az abszolút igazság, csupán több „nyelven” írhatjuk azt le. Poincaré volt az egyik úttörő, aki először modellezte egymásban a 3 síkgeometriát, kimutatva ezzel azt, hogy ekvikonzisztensek, vagyis nem más világokat írnak le, hanem ugyanazt a világot csak más nyelveken. (Ez bövül a Cayley-Klein modellben 9 egymással ekvikonzisztens síkgeometriára.
Térjünk megint vissza a [0,1] szakasz példájára.
A: Elég nekünk a 4. eset. (Peano 1-4.)
~A => B, ahol B a végtelen (oo) bevezetése. Peano 5. axiómája tulajdonképpen egy axiómaséma. Minden egyes tulajdonsághoz rendelhetünk egy axiómát vele. Itt arra a tulajdonságra értelmezzük, mely a 0,1,2,3,… sort oo-ig „repíti”. A séma e konkrét alkalmazása itt a B. Az axióma ekkor nem tesz mást, mint a standard elemeken igaz tulajdonságot kiterjeszti a nemstandard elemekre is, így biztosítva a oo határértéket.
~A => B => C, ahol C Cantor párosításának bevezetése, vagyis hogy a végtelen halmazok párba állíthatók saját valódi részhalmazukkal. A naiv megfontolás, csak a 0-ban ábrázolt, vagyis a 4. pontbeli természetes számokra igaz. Megint csak az axióma sémát kell alkalmazni, hogy ezt a tulajdonságot igaznak nyilvánítsuk a nemstandard természetes számokra is. Ez az alkalmazás ekkor C.
~A => B => C => D, ahol D Cantor főtétele: |N| B => C => D => E, ahol E a kontinuum hipotézis. Érdekes, hogy E-t állítják be, mint első független állítást. Ennek oka elégé tiszta előttem. A valós számok R halmaza a naiv felfogás szerint a standard számfogalom része. Értsd: Minden nemstandard számfogalom csak ezt bővítheti. Márpedig R együtt jár, ~A,B,C és D elfogadásával. E felfogás szerint tehát E az első független állítás. Ám túl komolyan nem is kell utána nézni, hogy észrevegyük, hogy a standard eset valójában Q, amit a 4. pontra építhetünk fel. Ebből R-hez egy új axiómával jutunk, aminek neve felső határ axióma, jelöljük ezt F-fel. ~A => B => F => E.
Van tehát két „következtetési láncunk”, melynek minden tagja független választás eredménye!
~A => B => C => D => E
~A => B => F => E
Világos, hogy akár a A-nál leállhatunk, de a lánc bármelyik későbbi pontján is, szabadon indulhatunk el a másik irányba. Ez Peano axióma sémája esetén a Napnál világosabb, hiszen csak T helyett ~T tulajdonságot kell a nemstandard természetes számokra igaznak nyilvánítani. Például: a standard természetes számokra értelmezett a páros, páratlan tulajdonság. A nem standardokra előírhatjuk, hogy rájuk ne legyen értelmezve. Persze azt is előírhatjuk, hogy értelmezve legyen.
A saját javaslatom, a ~A => ~B eset egy lehetséges konkrét megvalósítása. A véges aritmetikán belül maradva, annak határait tágítom ki amennyire csak lehetséges. A oo ideális elem helyett H ideális elemet vezetem be.
A geometria és a számelmélet/analízis esetei között van egy döntő különbség. Míg a geometria tárgy „megfogató”, az egyenes, s így az axiómák hatása „azonnal” észlelhető, addig a számelmélet/analízis esetében a hatás csak a nemstandard számokat érinti, ahol talán ez a visszahatás nem annyira feltűnő, könnyű átsiklani felette, könnyű elfelejteni, hogy a másik irány is egyenrangú vele, s hogy nem a valóságot relativizáljuk, hanem az abszolút valósághoz alkotunk újabb és újabb nyelveket, melyek egymással ekvikonzisztensek.
A kontinuum hipotézis Hilbert 1 problémája volt. (1900-ban egy híres beszédében a szerinte a XX. században megoldandó legfontosabb matematikai problémák 23 elemű listáját is elmondta.) Nézzük meg most a 10. problémát! Az eredménye megint csak nagy meglepetés volt. Nem létezik diofantoszi egyenleteket megoldó általános algoritmus. A fentiek ismerete nélkül az ember ezt az eredményt egyszerűen fel sem foghatja. A csak standard természetes számokban utazó tudhatja, hogy van módszer a változók szisztematikus átnézéséhez, s így ha van megoldás ezzel az általános módszerrel az megtalálható, s ez algoritmizálható is. (A módszer mintája Cantor Q cikk-cakk bejárása.) A nemstandard jelen kell legyen. Ám ekkor ez az algoritmusokra magukra is érvényes. Erősen valószínűnek gondolom, hogy Matijasevics eredménye arra vonatkozik, hogy nincs olyan standard algoritmus, mely általánosan megoldana nemstandard elemeket tartalmazó diofantoszi egyenleteket. Nos valójában olyan sincs amelyik akárcsak egyet megoldana. Egy diofantoszi egyenlet ugyanis a következő három esetben tud nemstandard lenni: Van benne olyan együttható, mely nemstandard. Van benne olyan változó amelyiknek a megoldási értéke nemstandard. Ez a két eset még kezelhető azzal, ha a nemstandard elemekre lehet hivatkozni. A harmadik eset: a diofantoszi egyenlet maga nemstandard számú tagból áll. Ezt már egy standard algoritmus sem képes kezelni. Ott lenne ugyan a diofantoszi egyenlet az inputszalagján, de nem jutna soha a végére. Miközben az nem lenne végtelen input! Ezen is érdemes elgondolkodni! Adott egy nem végtelen jelsorozat, aminek nem lehet véges lépésben a végére jutni!
A végesnek van egy tulajdonsága, hogy nem lehet a végére jutni. Ha ugyanis lehetne, akkor oo-t standard úton elérhetnénk. Ha a (0,1) szakaszt tekintjük, s azon a megszokott módon elérhetnénk (0,1) bármely q pontját n standard véges lépésében, akkor (1/q) * n szintén standard véges lépésben elérhetnénk 1-be, ami ellentmondás. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a végesnek a 0-ad részét tudjuk csak megszámolni. Ez a standard rész. Hogy jön ez ki? A véges feléig el tudunk számolni? Nem. A negyedéig? Nem. Hányad részéig tudunk? Sehányadik. Vegyük észre, hogy |N| standard részének megszámolása következik Peano 1-4-ból. A nemstandard elemekre azonban ez megint csak Peano axiómaséma alkalmazásával terjeszthető ki. (Láttuk ez volt korábban a C pont)
Ebből kifolyólag naiv az az elképzelés, hogy ami nem standard véges az mindjárt végtelen. „A létezik olyan halmaz mely nem véges.” állítás gyakran szerepel úgy, mint a végtelen halmaz axiómája. Azonban ezt is érdemes felbontani:
A: létezik standard véges halmaz.
B: létezik nemstandard véges halmaz
C: létezik olyan halmaz, mely nem véges. (azaz nem standard véges és nem is nemstandard véges).
Axióma szinten mindhárom kimondható. Elvileg C kimondható lenne A felett is, de a végtelen halmaznak pont olyanok a tulajdonságai, hogy A és C között lennie kell még valaminek. A javaslatom értelmezhető úgy, hogy B-t válasszuk meg úgy, hogy C-re már ne legyen szükség.
Csak érdekességképpen említem meg, hogy a máig megoldatlan P=?NP kérdést is jó lenne a standard – nemstandard megközelítéssel szemlélni. Vagyis a feladat kiírása lehet, hogy pontosításra szorul.
„5. azzal, hogy mi lenne, ha ennek az eldönthetetlen állításnak ezt az értéket választanánk, annak meg azt, a harmadiknak meg amazt, elég kevés és bizonyos szempontból eléggé elvetemült matematikus foglalkozik csak. Itt persze tényleg érdekes kérdés az állítások függetlensége, de erről még igen keveset tudunk, és amikor eldönthetetlen állításokkal játszunk, pláne többel egyszerre, érhetnek még minket nagy meglepetések…”
A modern felfogás azt mondja, hogy minden matematikus elvileg saját matematikáját találja fel. Ez odáig megy, hogy van aki azt mondja, hogy két matematikus tulajdonképpen képtelen egymással szót váltani. Sosem lehet ugyanis tudni, melyik mit is ért a használt fogalmakon. Ez a felfogás azonban nem veszi figyelembe, hogy az axiómák azok melyek megadják az alapfogalmak jelentését. Ha tehát van két matematikus, akkor egymás axiómarendszerét a sajátjukon belül modellezve egyben a másik alapfogalmait is modellezik, s képesek a másik tételeit is rekonstruálni. Azt a technikai nehézséget persze még át kell lépni, hogy mindegyik a maga jelölés rendszerét használja. Ám ha ezeket csak jelek és manipulációk leírásának tekintjük, akkor ezzel sem lehet gond.
Ekkor viszont a matematikusok nem új matematikákat találnak fel, hanem csak új nyelveket a Matematika egy-egy részéhez. Vagyis „csak” felfedeznek. Cantor esete a halmazelmélettel jól mutatja, hogy az igazi feltalálás ellentmondáshoz vezet. A kezelése is nem minden tanulság nélküli. Naivnak titulálták a matematikához való addigi hozzáállást. Immár nem axiómákat kerestek egy matematikai objektumhoz, hanem az axiómákat tették az első helyre, s immár azok mondják meg mi tartozik az adott matematikai objektumhoz és mi nem. Ám ha tudjuk, hogy az axiómák az alapfogalom leírására valók, akkor ezek a rendszerek vagy egymásba fordíthatóak, vagy önellentmondásosak. Ha önellentmondásosak akkor nem részei a matematikának. (Ahogy a flogiszton sem a tudománynak.) Egy matematikus elindulhat feltaláló útra, de vagy ellentmondásba keveredik, vagy amit kap az egy új nyelv a Matematika egy részére, nem pedig önálló relatív matematika. Ebből következően például a halmaz fogalma is leírható a régi naiv módon. Csak figyelni kell az apró részletekre és a halmaz mellé a részt kell alapfogalommá tenni és nem az eleme fogalmat. Az utóbbit kell az előbbiből származtatni és nem fordítva. Vagyis továbbra is van értelme egy-egy matematikai objektumról beszélni, s azt leíró nyelvekről, azaz axiómarendszerekről. Azaz a matematikát mind felfedezzük, amiben szabadságunk van a nyelvek feltalálása hozzá.
Hasonlóan Isten is többféle „nyelven” közelíthető meg, de minden olyan kísérlet, mely vindikálja a jogot Isten meghatározására, s ellentétes a bibliai istenképpel szükségképpen önellentmondáshoz vezet. Istent leíró nyelvek keresése valódi teológiai tudomány. Istenek önálló definiálása ellenben nem tudomány, végezze azt akárhány teológus. Ezt is könnyű lemérni. Ha a Biblia akár egyetlen igéjét is hamisnak találja az adott önálló meghatározás, akkor az nem teológiai elmélet, hanem valami önellentmondó emberi okoskodás. Nem keverendő azzal az esettel, amikor a törekvés meg van, de az ember olyan igébe ütközik, ami nem látszik a rendszerébe illeszthetőnek. Ekkor ugyanis a Bibliának ad igazat, de elismeri, hogy elakadt. Az utóbbi tulajdonképpen elfogadja a Biblia minden igazságát, de ezeket nem tudja együtt értelmezni. Az Istennel megbékélt ember jellemvonása ez. Istennél az igazság én csak megpróbálok minél többet megérteni belőle. A hiba nálam van, ha elakadtam. Az előbbi viszont fogja a Biblia állításait, s tulajdonképpen szabadon válogat köztük, hogy melyiket tekintse igaznak, melyiket hamisnak. Ez a lázadó ember magatartása, aki megmondja mi a jó, és ezzel persze azt is mi a rossz. A fentiekből kiderült, hogy a matematikai párhuzam bár erősnek látszik, nem alkalmazható. Nincsenek egymást kizáró matematikák, csak az egy Matematikának különböző nyelven való leírásai.
Ha az ember ezeket szem előtt tartja, akkor számos meglepetést elkerülhet. A Hausdorff-Banach-Tarski paradoxon például egy olyan meglepetés, amiből tudni kellene arra következtetni, hogy az ember rosszul válogatta össze az axiómáit, például az axiómasémái T tulajdonságai nem férnek meg egymással.
„6. a végtelen fogalmát meg lehet próbálni kihajítani, de akkor vele együtt kihajítjuk a fizika zömét, közte az elektrodinamikát is, és akkor kb. vele együtt hajítod ki a számítógépedet is amiről kommentelsz A hétköznapi életben annyi minden találmány épült végső soron ezekre a matematikai modellekre, amiket aligha akarsz kidobni ”
Elektrodinamikán nyilván a QED-t, vagyis a kvantum-elektrodinamikát érted. Ez első közelítésben valóban végtelen dimenziós térrel modellezhető. Ám ekkor egy sor nem várt végtelen lép fel benne, amit renormálással lehet mesterségesen kirúgni. A QCD kvantum-színdinamika esetében azonban már ez sem segít. Nem renormálható. Ezek a kvantumtérelmélet szerinti modellek, ahol a tér folytonos. A mai modern megközelítés kvantumrácselméletekkel dolgozik. Ebben a tér maga is kvantált. Például nem keletkezhet foton akármilyen közel egymáshoz sem időben, sem térben, hanem van egy minimális „távolság”. Ez maga a kvantumrács. S mindjárt nem hogy végtelen nincs sehol, s így renormálni sem kell, de átugorva a nemstandard értékeket, a rácsok mérete rögtön standard szám. Vagyis Brouwer korlátozott számaival is ki lehet benne bármit számolni. Figyelmed ajánlok egy Polónyi János interjút. Főleg az „Ez valóban ijesztő probléma …” kezdetű választ. http://wwwold.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0704/hajdu0704.html Vagy egy másik rövid írást, ami megmutatja, hogy ha a Planck-állandót 0-ba, a maximális sebességet meg végtelenbe visszük, akkor hogyan omlik össze az teljes fizika, vagyis mennyire nem lehet a valóság leírása. http://www.termeszetvilaga.hu/fizika_eve/fizika/lovas.html
Ne feledjük, a 0,1,2,3,.. sor önmagában nem tart oo-be! Saját tagjain fut végig vég nélkül, és semmi több. A nemstandard természetes számokat kell elfogadni és feltenni axiómával, hogy a sor ezek elemein is végig fut, hogy valóban „elérjünk” végtelenhez. Így a oo-re épülő folytonos klasszikus eset a standard kvantumokra épülő kvantummechanikai megközelítéssel nem közelíthető, csak ha közéjük „képzeljük” a nemstandard kvantumú eseteket is.
Az természetesen igaz, hogy oo elvetése önmagában kevés, de mint fentebb látható megadtam az alternatívát. Ráadásul a kvantumrácselmélethez elegendő a standard számfogalom önmagában, vagyis Brouwer megközelítése. Gyakorlatban ez mindig elég, hisz számolni csak ezt lehet. Az egy másik kérdés, hogy az összeg elhanyagolt tagjai valóban léteznek-e mind (végnélküli eset) vagy van egy utolsó tag, (kvantált eset). Ez utóbbi esetben a pontosabb számítás már egyenesen túllő a célon, olyan tagokat is összegezve, melyek a valóságban már nincsenek ott.
„7. A véges matematikának neki lehet futni, de nagy kérdés az, hogy a többi természettudománynak, akárcsak a fizikának elegendő lesz-e, amit le sikerül vele írni?”
A fentieken túl figyelmedbe ajánlom Weierstrass és Cauchy nevével fémjelzett szigorúság forradalmát. Ebben például egy sor divergenciája a oo említése nélkül van megadva. Tetszőleges (standard) N értékhez van olyan (standard) n érték, hogy a sorozat minden n-nél nagyobb sorszámú tagja nagyobb, mint N. A szigorúság forradalmának egy másik érdekessége, hogy Q halmazra önmagában igazzá válnak a folytonosság definíciói. (Cauhy, Heine). Vagyis immár a nem racionális számok nélkül is folytonos a számegyenes, e modern definíció szerint. A modern analízis pedig Weierstrass forradalmára építenek, így a végtelen hiánya alójában semmilyen proglémát nem jelent. Amit ehhez H bevezetése jelent oo helyett, a oo/oo, oo – oo és más határértékek pontosabb kezelése, immár oo nélkül. Ne feledjük H véges, de nemstandard! A standard elég a számításokhoz, de az elméleti egységhez mindig kell valami nemstandard is. Úgy vélem, hogy ha a probléma gyökerét megkeressük, akkor annak leírására a nemstandard véges mindig elegendő.
A szigorúság forradalma értelmezhető úgy, hogy minden megengedett csak a (0,oo) fémjeleze határeset nem. Epszilont választhatod bármilyen kicsinek, de 0-nak nem. N-t bármilyen nagynak, de oo-nek nem.
„ami pedig az Istenre figyelő, tiszta gondolkodást illeti, elfelejtkezel valamiről, ami ilyen gondolkodás mellett valami hasonlót mond ki, mint Gödel nem teljességi tétele: “„Nincsen igaz ember egy sem, nincsen, aki értse, nincsen, aki keresse Istent.” Pál is azt írja, hogy az akarás megvan benne, de a véghezvitelt nem találja. Vagy azt, amit a Prédikátor mond: “Láttam a foglalatosságot, melyet adott Isten az emberek fiainak, hogy fáradozzanak benne. Mindent szépen csinált az ő idejében, e világot is adta az emberek elméjébe, csakhogy úgy, hogy az ember meg nem foghatja mindazt a dolgot, amit az Isten cselekszik kezdettől fogva mindvégig””
Erre a válasz is ott van a Bibliában. Egy ember sem keresi Istent, de Isten megkeresi azt akit akar, s megértéssel ajándékozza meg: 1Kor2,12 „Mi pedig nem e világnak lelkét vettük, hanem az Istenből való Lelket; hogy megismerjük azokat, a miket Isten ajándékozott nékünk. ” Ez a lázadását feladó ember esete. Isten azonban ennél többet is tesz. Általános kegyelme része, hogy időnként rávezeti az embereket, hogy feladjanak egy-egy addig dédelgetett paradigmát. S lám a tudományterület ugrásszerű fejlődése követi ezt a tettet. Ám ennek során a materialista megközelítés egyre inkább egy gondolat rekonstruálásába megy át, ahogy ezt James Jeans is megfogalmazta, amikor a megismert világot egyre inkább egy gondolathoz hasonlónak mondta. A Polónyi interjúban erre utalt az a kitétel is, hogy a kvantummechanika el kellett volna vezessen a materialista pozitivista szemlélet válságához.
„Meggyőződésem, hogy mindez az Istenre figyelő tiszta gondolkozás témában itt a nap alatt zsákutcára futunk magunktól, és Isten kegyelméből kijelenti azt, ami elég nekünk erre az életre és kegyességre.”
Átgondolva, mivel itt az általános kegyelem területén vagyunk helyesebb Isten helyett inkább a logikus jelekre odafigyelni. A tudomány felfedezése olyan, mint egy útvesztő, ahol azért ha egy egy ponton jó felé indulunk el, akkor van némi visszajelzés. Gondolok itt például arra, hogy Einstein elméletével több gyakorlati esetre kapunk használható eredményt, mint Newton elmélete esetében.
Ugyanakkor amikor azzal szembesülünk, hogy 1 = 2, még ha olyan agyafúrt formában is, mint a Hausdorff-Banach-Tarski paradoxon, akkor ott érdemes elgondolkodni, hogy valahol menet közben eltévedtünk. Gondolom találkoztál azzal a közhellyel, hogy a tudomány megcáfolta Istent, de ha mást nem a Bibliát mindenképpen. Az ezt hitelesítő tudósoké a legnagyobb felelősség, de aki ezt nekik elhiszi sem lesz menthető. Mert ilyen jelek állnak előttük. 1 = 2. Ha x*1=x*2 egyszerűsítsünk x-el: 1=2 esetet látja, akkor azonnal felkiált, hogy állj, 0-val nem osztunk! Ám ugyanezt tételként ünnepli, ha egy gömb kettőzéséről van szó. Pedig a nem mérhető részekre való felosztás a nullával való osztás virágnyelven.
„Összegezve: nem látok semmi okot leszólni Cantor halmazelméletét Isten ismeretének a nevében, sem a matematika, sem a teológia oldaláról nézve.”
Lánczos Kornél, Einstein egyik matematikusa jól fogalmazza meg az a váltást, amit Cantor képviselt. http://members.iif.hu/visontay/ponticulus/rovatok/hidverok/lanczos.html Jól látszik belőle, hogy Cantor is kiterjedés nélküli pontokban gondolkodott, s így aktualizálta a végtelent, mondván a szakaszok létező dolgok, és ténylegesen végtelen pontjuk van. Ami itt valójában kritika illethet az a következmények kezelésének a története. Beleértve Hilbert programját is, ami végül Göldel eredményeivel szétzúzatott, de minimum holtpontra jutott. Az egész történetre rányomja a bélyegét az a tévhit hogy vagy Brouwer, vagy Cantor. A fentiek arról is szóltak, hogy van köztes út. A történetet ennek a fényében érdemes átgondolni.
„5. azzal, hogy mi lenne, ha ennek az eldönthetetlen állításnak ezt az értéket választanánk, annak meg azt, a harmadiknak meg amazt, elég kevés és bizonyos szempontból eléggé elvetemült matematikus foglalkozik csak. Itt persze tényleg érdekes kérdés az állítások függetlensége, de erről még igen keveset tudunk, és amikor eldönthetetlen állításokkal játszunk, pláne többel egyszerre, érhetnek még minket nagy meglepetések…”
A modern felfogás azt mondja, hogy minden matematikus elvileg saját matematikáját találja fel. Ez odáig megy, hogy van aki azt mondja, hogy két matematikus tulajdonképpen képtelen egymással szót váltani. Sosem lehet ugyanis tudni, melyik mit is ért a használt fogalmakon. Ez a felfogás azonban nem veszi figyelembe, hogy az axiómák azok melyek megadják az alapfogalmak jelentését. Ha tehát van két matematikus, akkor egymás axiómarendszerét a sajátjukon belül modellezve egyben a másik alapfogalmait is modellezik, s képesek a másik tételeit is rekonstruálni. Azt a technikai nehézséget persze még át kell lépni, hogy mindegyik a maga jelölés rendszerét használja. Ám ha ezeket csak jelek és manipulációk leírásának tekintjük, akkor ezzel sem lehet gond.
Ekkor viszont a matematikusok nem új matematikákat találnak fel, hanem csak új nyelveket a Matematika egy-egy részéhez. Vagyis „csak” felfedeznek. Cantor esete a halmazelmélettel jól mutatja, hogy az igazi feltalálás ellentmondáshoz vezet. A kezelése is nem minden tanulság nélküli. Naivnak titulálták a matematikához való addigi hozzáállást. Immár nem axiómákat kerestek egy matematikai objektumhoz, hanem az axiómákat tették az első helyre, s immár azok mondják meg mi tartozik az adott matematikai objektumhoz és mi nem. Ám ha tudjuk, hogy az axiómák az alapfogalom leírására valók, akkor ezek a rendszerek vagy egymásba fordíthatóak, vagy önellentmondásosak. Ha önellentmondásosak akkor nem részei a matematikának. (Ahogy a flogiszton sem a tudománynak.) Egy matematikus elindulhat feltaláló útra, de vagy ellentmondásba keveredik, vagy amit kap az egy új nyelv a Matematika egy részére, nem pedig önálló relatív matematika. Ebből következően például a halmaz fogalma is leírható a régi naiv módon. Csak figyelni kell az apró részletekre és a halmaz mellé a részt kell alapfogalommá tenni és nem az eleme fogalmat. Az utóbbit kell az előbbiből származtatni és nem fordítva. Vagyis továbbra is van értelme egy-egy matematikai objektumról beszélni, s azt leíró nyelvekről, azaz axiómarendszerekről. Azaz a matematikát mind felfedezzük, amiben szabadságunk van a nyelvek feltalálása hozzá.
Hasonlóan Isten is többféle „nyelven” közelíthető meg, de minden olyan kísérlet, mely vindikálja a jogot Isten meghatározására, s ellentétes a bibliai istenképpel szükségképpen önellentmondáshoz vezet. Istent leíró nyelvek keresése valódi teológiai tudomány. Istenek önálló definiálása ellenben nem tudomány, végezze azt akárhány teológus. Ezt is könnyű lemérni. Ha a Biblia akár egyetlen igéjét is hamisnak találja az adott önálló meghatározás, akkor az nem teológiai elmélet, hanem valami önellentmondó emberi okoskodás. Nem keverendő azzal az esettel, amikor a törekvés meg van, de az ember olyan igébe ütközik, ami nem látszik a rendszerébe illeszthetőnek. Ekkor ugyanis a Bibliának ad igazat, de elismeri, hogy elakadt. Az utóbbi tulajdonképpen elfogadja a Biblia minden igazságát, de ezeket nem tudja együtt értelmezni. Az Istennel megbékélt ember jellemvonása ez. Istennél az igazság én csak megpróbálok minél többet megérteni belőle. A hiba nálam van, ha elakadtam. Az előbbi viszont fogja a Biblia állításait, s tulajdonképpen szabadon válogat köztük, hogy melyiket tekintse igaznak, melyiket hamisnak. Ez a lázadó ember magatartása, aki megmondja mi a jó, és ezzel persze azt is mi a rossz. A fentiekből kiderült, hogy a matematikai párhuzam bár erősnek látszik, nem alkalmazható. Nincsenek egymást kizáró matematikák, csak az egy Matematikának különböző nyelven való leírásai.
Ha az ember ezeket szem előtt tartja, akkor számos meglepetést elkerülhet. A Hausdorff-Banach-Tarski paradoxon például egy olyan meglepetés, amiből tudni kellene arra következtetni, hogy az ember rosszul válogatta össze az axiómáit, például az axiómasémái T tulajdonságai nem férnek meg egymással.
„6. a végtelen fogalmát meg lehet próbálni kihajítani, de akkor vele együtt kihajítjuk a fizika zömét, közte az elektrodinamikát is, és akkor kb. vele együtt hajítod ki a számítógépedet is amiről kommentelsz A hétköznapi életben annyi minden találmány épült végső soron ezekre a matematikai modellekre, amiket aligha akarsz kidobni ”
Elektrodinamikán nyilván a QED-t, vagyis a kvantum-elektrodinamikát érted. Ez első közelítésben valóban végtelen dimenziós térrel modellezhető. Ám ekkor egy sor nem várt végtelen lép fel benne, amit renormálással lehet mesterségesen kirúgni. A QCD kvantum-színdinamika esetében azonban már ez sem segít. Nem renormálható. Ezek a kvantumtérelmélet szerinti modellek, ahol a tér folytonos. A mai modern megközelítés kvantumrácselméletekkel dolgozik. Ebben a tér maga is kvantált. Például nem keletkezhet foton akármilyen közel egymáshoz sem időben, sem térben, hanem van egy minimális „távolság”. Ez maga a kvantumrács. S mindjárt nem hogy végtelen nincs sehol, s így renormálni sem kell, de átugorva a nemstandard értékeket, a rácsok mérete rögtön standard szám. Vagyis Brouwer korlátozott számaival is ki lehet benne bármit számolni. Figyelmed ajánlok egy Polónyi János interjút. Főleg az „Ez valóban ijesztő probléma …” kezdetű választ. http://wwwold.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0704/hajdu0704.html Vagy egy másik rövid írást, ami megmutatja, hogy ha a Planck-állandót 0-ba, a maximális sebességet meg végtelenbe visszük, akkor hogyan omlik össze az teljes fizika, vagyis mennyire nem lehet a valóság leírása. http://www.termeszetvilaga.hu/fizika_eve/fizika/lovas.html
Ne feledjük, a 0,1,2,3,.. sor önmagában nem tart oo-be! Saját tagjain fut végig vég nélkül, és semmi több. A nemstandard természetes számokat kell elfogadni és feltenni axiómával, hogy a sor ezek elemein is végig fut, hogy valóban „elérjünk” végtelenhez. Így a oo-re épülő folytonos klasszikus eset a standard kvantumokra épülő kvantummechanikai megközelítéssel nem közelíthető, csak ha közéjük „képzeljük” a nemstandard kvantumú eseteket is.
Az természetesen igaz, hogy oo elvetése önmagában kevés, de mint fentebb látható megadtam az alternatívát. Ráadásul a kvantumrácselmélethez elegendő a standard számfogalom önmagában, vagyis Brouwer megközelítése. Gyakorlatban ez mindig elég, hisz számolni csak ezt lehet. Az egy másik kérdés, hogy az összeg elhanyagolt tagjai valóban léteznek-e mind (végnélküli eset) vagy van egy utolsó tag, (kvantált eset). Ez utóbbi esetben a pontosabb számítás már egyenesen túllő a célon, olyan tagokat is összegezve, melyek a valóságban már nincsenek ott.
„7. A véges matematikának neki lehet futni, de nagy kérdés az, hogy a többi természettudománynak, akárcsak a fizikának elegendő lesz-e, amit le sikerül vele írni?”
A fentieken túl figyelmedbe ajánlom Weierstrass és Cauchy nevével fémjelzett szigorúság forradalmát. Ebben például egy sor divergenciája a oo említése nélkül van megadva. Tetszőleges (standard) N értékhez van olyan (standard) n érték, hogy a sorozat minden n-nél nagyobb sorszámú tagja nagyobb, mint N. A szigorúság forradalmának egy másik érdekessége, hogy Q halmazra önmagában igazzá válnak a folytonosság definíciói. (Cauhy, Heine). Vagyis immár a nem racionális számok nélkül is folytonos a számegyenes, e modern definíció szerint. A modern analízis pedig Weierstrass forradalmára építenek, így a végtelen hiánya alójában semmilyen proglémát nem jelent. Amit ehhez H bevezetése jelent oo helyett, a oo/oo, oo – oo és más határértékek pontosabb kezelése, immár oo nélkül. Ne feledjük H véges, de nemstandard! A standard elég a számításokhoz, de az elméleti egységhez mindig kell valami nemstandard is. Úgy vélem, hogy ha a probléma gyökerét megkeressük, akkor annak leírására a nemstandard véges mindig elegendő.
A szigorúság forradalma értelmezhető úgy, hogy minden megengedett csak a (0,oo) fémjeleze határeset nem. Epszilont választhatod bármilyen kicsinek, de 0-nak nem. N-t bármilyen nagynak, de oo-nek nem.
„ami pedig az Istenre figyelő, tiszta gondolkodást illeti, elfelejtkezel valamiről, ami ilyen gondolkodás mellett valami hasonlót mond ki, mint Gödel nem teljességi tétele: “„Nincsen igaz ember egy sem, nincsen, aki értse, nincsen, aki keresse Istent.” Pál is azt írja, hogy az akarás megvan benne, de a véghezvitelt nem találja. Vagy azt, amit a Prédikátor mond: “Láttam a foglalatosságot, melyet adott Isten az emberek fiainak, hogy fáradozzanak benne. Mindent szépen csinált az ő idejében, e világot is adta az emberek elméjébe, csakhogy úgy, hogy az ember meg nem foghatja mindazt a dolgot, amit az Isten cselekszik kezdettől fogva mindvégig””
Erre a válasz is ott van a Bibliában. Egy ember sem keresi Istent, de Isten megkeresi azt akit akar, s megértéssel ajándékozza meg: 1Kor2,12 „Mi pedig nem e világnak lelkét vettük, hanem az Istenből való Lelket; hogy megismerjük azokat, a miket Isten ajándékozott nékünk. ” Ez a lázadását feladó ember esete. Isten azonban ennél többet is tesz. Általános kegyelme része, hogy időnként rávezeti az embereket, hogy feladjanak egy-egy addig dédelgetett paradigmát. S lám a tudományterület ugrásszerű fejlődése követi ezt a tettet. Ám ennek során a materialista megközelítés egyre inkább egy gondolat rekonstruálásába megy át, ahogy ezt James Jeans is megfogalmazta, amikor a megismert világot egyre inkább egy gondolathoz hasonlónak mondta. A Polónyi interjúban erre utalt az a kitétel is, hogy a kvantummechanika el kellett volna vezessen a materialista pozitivista szemlélet válságához.
„Meggyőződésem, hogy mindez az Istenre figyelő tiszta gondolkozás témában itt a nap alatt zsákutcára futunk magunktól, és Isten kegyelméből kijelenti azt, ami elég nekünk erre az életre és kegyességre.”
Átgondolva, mivel itt az általános kegyelem területén vagyunk helyesebb Isten helyett inkább a logikus jelekre odafigyelni. A tudomány felfedezése olyan, mint egy útvesztő, ahol azért ha egy egy ponton jó felé indulunk el, akkor van némi visszajelzés. Gondolok itt például arra, hogy Einstein elméletével több gyakorlati esetre kapunk használható eredményt, mint Newton elmélete esetében.
Ugyanakkor amikor azzal szembesülünk, hogy 1 = 2, még ha olyan agyafúrt formában is, mint a Hausdorff-Banach-Tarski paradoxon, akkor ott érdemes elgondolkodni, hogy valahol menet közben eltévedtünk. Gondolom találkoztál azzal a közhellyel, hogy a tudomány megcáfolta Istent, de ha mást nem a Bibliát mindenképpen. Az ezt hitelesítő tudósoké a legnagyobb felelősség, de aki ezt nekik elhiszi sem lesz menthető. Mert ilyen jelek állnak előttük. 1 = 2. Ha x*1=x*2 egyszerűsítsünk x-el: 1=2 esetet látja, akkor azonnal felkiált, hogy állj, 0-val nem osztunk! Ám ugyanezt tételként ünnepli, ha egy gömb kettőzéséről van szó. Pedig a nem mérhető részekre való felosztás a nullával való osztás virágnyelven.
„Összegezve: nem látok semmi okot leszólni Cantor halmazelméletét Isten ismeretének a nevében, sem a matematika, sem a teológia oldaláról nézve.”
Lánczos Kornél, Einstein egyik matematikusa jól fogalmazza meg az a váltást, amit Cantor képviselt. http://members.iif.hu/visontay/ponticulus/rovatok/hidverok/lanczos.html Jól látszik belőle, hogy Cantor is kiterjedés nélküli pontokban gondolkodott, s így aktualizálta a végtelent, mondván a szakaszok létező dolgok, és ténylegesen végtelen pontjuk van. Ami itt valójában kritika illethet az a következmények kezelésének a története. Beleértve Hilbert programját is, ami végül Göldel eredményeivel szétzúzatott, de minimum holtpontra jutott. Az egész történetre rányomja a bélyegét az a tévhit hogy vagy Brouwer, vagy Cantor. A fentiek arról is szóltak, hogy van köztes út. A történetet ennek a fényében érdemes átgondolni.
„6. a végtelen fogalmát meg lehet próbálni kihajítani, de akkor vele együtt kihajítjuk a fizika zömét, közte az elektrodinamikát is, és akkor kb. vele együtt hajítod ki a számítógépedet is amiről kommentelsz A hétköznapi életben annyi minden találmány épült végső soron ezekre a matematikai modellekre, amiket aligha akarsz kidobni ”
Elektrodinamikán nyilván a QED-t, vagyis a kvantum-elektrodinamikát érted. Ez első közelítésben valóban végtelen dimenziós térrel modellezhető. Ám ekkor egy sor nem várt végtelen lép fel benne, amit renormálással lehet mesterségesen kirúgni. A QCD kvantum-színdinamika esetében azonban már ez sem segít. Nem renormálható. Ezek a kvantumtérelmélet szerinti modellek, ahol a tér folytonos. A mai modern megközelítés kvantumrácselméletekkel dolgozik. Ebben a tér maga is kvantált. Például nem keletkezhet foton akármilyen közel egymáshoz sem időben, sem térben, hanem van egy minimális „távolság”. Ez maga a kvantumrács. S mindjárt nem hogy végtelen nincs sehol, s így renormálni sem kell, de átugorva a nemstandard értékeket, a rácsok mérete rögtön standard szám. Vagyis Brouwer korlátozott számaival is ki lehet benne bármit számolni. Figyelmed ajánlok egy Polónyi János interjút. Főleg az „Ez valóban ijesztő probléma …” kezdetű választ. http://wwwold.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0704/hajdu0704.html Vagy egy másik rövid írást, ami megmutatja, hogy ha a Planck-állandót 0-ba, a maximális sebességet meg végtelenbe visszük, akkor hogyan omlik össze az teljes fizika, vagyis mennyire nem lehet a valóság leírása. http://www.termeszetvilaga.hu/fizika_eve/fizika/lovas.html
Ne feledjük, a 0,1,2,3,.. sor önmagában nem tart oo-be! Saját tagjain fut végig vég nélkül, és semmi több. A nemstandard természetes számokat kell elfogadni és feltenni axiómával, hogy a sor ezek elemein is végig fut, hogy valóban „elérjünk” végtelenhez. Így a oo-re épülő folytonos klasszikus eset a standard kvantumokra épülő kvantummechanikai megközelítéssel nem közelíthető, csak ha közéjük „képzeljük” a nemstandard kvantumú eseteket is.
Az természetesen igaz, hogy oo elvetése önmagában kevés, de mint fentebb látható megadtam az alternatívát. Ráadásul a kvantumrácselmélethez elegendő a standard számfogalom önmagában, vagyis Brouwer megközelítése. Gyakorlatban ez mindig elég, hisz számolni csak ezt lehet. Az egy másik kérdés, hogy az összeg elhanyagolt tagjai valóban léteznek-e mind (végnélküli eset) vagy van egy utolsó tag, (kvantált eset). Ez utóbbi esetben a pontosabb számítás már egyenesen túllő a célon, olyan tagokat is összegezve, melyek a valóságban már nincsenek ott.
„7. A véges matematikának neki lehet futni, de nagy kérdés az, hogy a többi természettudománynak, akárcsak a fizikának elegendő lesz-e, amit le sikerül vele írni?”
A fentieken túl figyelmedbe ajánlom Weierstrass és Cauchy nevével fémjelzett szigorúság forradalmát. Ebben például egy sor divergenciája a oo említése nélkül van megadva. Tetszőleges (standard) N értékhez van olyan (standard) n érték, hogy a sorozat minden n-nél nagyobb sorszámú tagja nagyobb, mint N. A szigorúság forradalmának egy másik érdekessége, hogy Q halmazra önmagában igazzá válnak a folytonosság definíciói. (Cauhy, Heine). Vagyis immár a nem racionális számok nélkül is folytonos a számegyenes, e modern definíció szerint. A modern analízis pedig Weierstrass forradalmára építenek, így a végtelen hiánya alójában semmilyen proglémát nem jelent. Amit ehhez H bevezetése jelent oo helyett, a oo/oo, oo – oo és más határértékek pontosabb kezelése, immár oo nélkül. Ne feledjük H véges, de nemstandard! A standard elég a számításokhoz, de az elméleti egységhez mindig kell valami nemstandard is. Úgy vélem, hogy ha a probléma gyökerét megkeressük, akkor annak leírására a nemstandard véges mindig elegendő.
A szigorúság forradalma értelmezhető úgy, hogy minden megengedett csak a (0,oo) fémjeleze határeset nem. Epszilont választhatod bármilyen kicsinek, de 0-nak nem. N-t bármilyen nagynak, de oo-nek nem.
„ami pedig az Istenre figyelő, tiszta gondolkodást illeti, elfelejtkezel valamiről, ami ilyen gondolkodás mellett valami hasonlót mond ki, mint Gödel nem teljességi tétele: “„Nincsen igaz ember egy sem, nincsen, aki értse, nincsen, aki keresse Istent.” Pál is azt írja, hogy az akarás megvan benne, de a véghezvitelt nem találja. Vagy azt, amit a Prédikátor mond: “Láttam a foglalatosságot, melyet adott Isten az emberek fiainak, hogy fáradozzanak benne. Mindent szépen csinált az ő idejében, e világot is adta az emberek elméjébe, csakhogy úgy, hogy az ember meg nem foghatja mindazt a dolgot, amit az Isten cselekszik kezdettől fogva mindvégig””
Erre a válasz is ott van a Bibliában. Egy ember sem keresi Istent, de Isten megkeresi azt akit akar, s megértéssel ajándékozza meg: 1Kor2,12 „Mi pedig nem e világnak lelkét vettük, hanem az Istenből való Lelket; hogy megismerjük azokat, a miket Isten ajándékozott nékünk. ” Ez a lázadását feladó ember esete. Isten azonban ennél többet is tesz. Általános kegyelme része, hogy időnként rávezeti az embereket, hogy feladjanak egy-egy addig dédelgetett paradigmát. S lám a tudományterület ugrásszerű fejlődése követi ezt a tettet. Ám ennek során a materialista megközelítés egyre inkább egy gondolat rekonstruálásába megy át, ahogy ezt James Jeans is megfogalmazta, amikor a megismert világot egyre inkább egy gondolathoz hasonlónak mondta. A Polónyi interjúban erre utalt az a kitétel is, hogy a kvantummechanika el kellett volna vezessen a materialista pozitivista szemlélet válságához.
„Meggyőződésem, hogy mindez az Istenre figyelő tiszta gondolkozás témában itt a nap alatt zsákutcára futunk magunktól, és Isten kegyelméből kijelenti azt, ami elég nekünk erre az életre és kegyességre.”
Átgondolva, mivel itt az általános kegyelem területén vagyunk helyesebb Isten helyett inkább a logikus jelekre odafigyelni. A tudomány felfedezése olyan, mint egy útvesztő, ahol azért ha egy egy ponton jó felé indulunk el, akkor van némi visszajelzés. Gondolok itt például arra, hogy Einstein elméletével több gyakorlati esetre kapunk használható eredményt, mint Newton elmélete esetében.
Ugyanakkor amikor azzal szembesülünk, hogy 1 = 2, még ha olyan agyafúrt formában is, mint a Hausdorff-Banach-Tarski paradoxon, akkor ott érdemes elgondolkodni, hogy valahol menet közben eltévedtünk. Gondolom találkoztál azzal a közhellyel, hogy a tudomány megcáfolta Istent, de ha mást nem a Bibliát mindenképpen. Az ezt hitelesítő tudósoké a legnagyobb felelősség, de aki ezt nekik elhiszi sem lesz menthető. Mert ilyen jelek állnak előttük. 1 = 2. Ha x*1=x*2 egyszerűsítsünk x-el: 1=2 esetet látja, akkor azonnal felkiált, hogy állj, 0-val nem osztunk! Ám ugyanezt tételként ünnepli, ha egy gömb kettőzéséről van szó. Pedig a nem mérhető részekre való felosztás a nullával való osztás virágnyelven.
„Összegezve: nem látok semmi okot leszólni Cantor halmazelméletét Isten ismeretének a nevében, sem a matematika, sem a teológia oldaláról nézve.”
Lánczos Kornél, Einstein egyik matematikusa jól fogalmazza meg az a váltást, amit Cantor képviselt. http://members.iif.hu/visontay/ponticulus/rovatok/hidverok/lanczos.html Jól látszik belőle, hogy Cantor is kiterjedés nélküli pontokban gondolkodott, s így aktualizálta a végtelent, mondván a szakaszok létező dolgok, és ténylegesen végtelen pontjuk van. Ami itt valójában kritika illethet az a következmények kezelésének a története. Beleértve Hilbert programját is, ami végül Göldel eredményeivel szétzúzatott, de minimum holtpontra jutott. Az egész történetre rányomja a bélyegét az a tévhit hogy vagy Brouwer, vagy Cantor. A fentiek arról is szóltak, hogy van köztes út. A történetet ennek a fényében érdemes átgondolni.
Az igen…
@Hunor,
ahogy Ádám másnak nemrég írta, a kevesebb néha több 🙂
Annak mindenesetre örülök, hogy kiderült, nem magával Cantor munkásságával van a legfőbb gondod, hanem azzal, amit mások építettek rá utána. Ez számomra egy lényeges különbségtétel. Semmiképp nem tenném Cantort felelőssé mindazért, amit utána mások műveltek.
Abban is egyetértek veled, hogy az axiómák a tulajdonságot határozzák meg; más axiómák, más tulajdonságok. A visszahatást nem tartom jó szóhasználatnak — magára az igazságra nem hat vissza a választás, csak a mi gondolkodásunkra és a mi igazságról/valóságról alkotott képünkre. A valóság leírására választott másik nyelv viszont szerintem is találó megfogalmazás.
Ami a Peano axiómákat illeti, az 1-4 önmagában nem határoz meg számfogalmat — illetve, ha mégis akkor nem egyet, hanem beláthatatlanul sokfélét. Olyan, mintha azt mondanám, hogy felépítettem a járművet, ami lehet kézikocsi is, meg kamion is, meg atomtengeralattjáró is, meg űrsikló is, vagy amit akartok… Gyakorlatilag azzal lehet bővíteni a természetes számok halmazát, amivel nem szégyelled, csak legyen meg a megfelelő rákövetkezésfogalom…
Természetes számok alatt tehát a magam részéről a Peano 1-5 által leírt legszűkebb halmazt értem. Akinek meg nincs szüksége az 5-re, meg a szűkítésre, az először terítse a lapjait és adjon hozzá még annyi axiómát, amivel egyértelművé teszi azt, hogy mit ért a természetes számok halmazán.
Emiatt is, meg a [0,1] szakasz racionális számokból való elképzelésénél is elakadtam, — talán az elnagyoltság miatt — nem értem, hogy mit akartál leírni. A standard természetes számokról a nemstandard természetes számokra való extrapoláció is érthetetlen a számomra, először egyértelmű halmazokat szeretnék látni, kellő számú axiómával az egyértelműséghez.
És akkor talán azt is érteném, mit értesz nemstandard véges halmaz alatt? (Weierstrass kapcsán sejteni vélem, mire tettél utalást, de a nemstandard véges fogalmát még így sem értem.)
Azt írod, nem tudunk a véges végére jutni, mert különben konstruktív módon el tudnánk jutni a végtelenbe… ezzel természetesen egyetértek… A határérték egy elég erős fogalom, és természetes módon a hatérérték használatával tudjuk kibővíteni a racionális számoj halmazát valós számokra…
Az elektrodinamika esetében nem is kell elszaladni a kvantum-elektrodinamikáig. Faraday munkásságánál már megállhatunk…
A teológiai vonatkozásoknak ezúttal is inkább külön kommentet szánok 🙂
@Hunor,
Ha komolyan vesszük azt, hogy Isten kegyelme mozdít előre — vagy hogy korábbi kommentemre (https://divinity.szabadosadam.hu/?p=10465&cpage=1#comment-10556) utaljak, az mozdít előre, hogy Isten valamilyen személyes módon megkeres — abból számomra nagy mértékű alázat következik azok irányába is, akikhez képest nagyon máshogy látom a világot vagy Istent.
Vannak helyzetek, amikor valaki érvelési hibát vét, amire lelkiismeretfurdalás nélkül felhívom a figyelmet ha arról van szó. De önmagában a más fogalmak, más percepció, akár a pontok kiterjedéséről, akár arról, hogy miféle szükségszerűség vezetett el az élővilág mai formájához (benne az emberrel) stb., kevés ahhoz számomra, hogy valakinek a tudományos munkásságáról értékítéletet mondjak. Nem vagyok a teljes igazság letéteményese… még ha ízelítőt is kaptam ay Igazságból 🙂
@dzsaszper
Köszönöm a válaszokat.
Én nem csak a teljes igazság letéteményese nem vagyok, de részigazságé sem. Ezek tulajdonosa Isten, ezért őt törekszem képviselni. A lázadó ember az aki itt értékítéletet tart Isten felett. Hány amúgy logikai gondolkodásban igen penge ember veti el Istent, mint akit figyelembe venni teljesen felesleges, meghaladott. Amikor majd Isten előtt állnak viszont semmilyen ellenérvük nem lesz, amivel elismerik, hogy jelen ellenállásuknak semmilyen ésszerű oka nincs. Ennek a helyzetnek a tudományos prekoncepciókra való oda és visszahatása szerintem egy érdekes kérdés, számos vetülettel. Addig még rendben is van, ha másképp látom Istent, de őt látom. Ám amikor már azt látom, hogy ha igazak az előítéleteim akkor Isten önellenmondás, na akkor érdemes lenne elgondolkodnom. Emberileg tehetetlen vagyok. Csupán bizonyságot tehetek, hogy Isten igen is valóság, s aki elveti jobb ha saját koncepcióiban nézz körül, még idejében, minden él nélkül. A Biblia alapján ezt kell mondanom. Viszont, a Bibliát már Isten lelke tudja csak hitelessé tenni, hogy a figyelmeztetést valaki komolyan is vegye. Aki ebben csak az én értékítéletemet látja önmagát csapja be. Ezt tanítja a Biblia, amit képviselek. Ami belőle saját értékítéletem csupán, az csak annyi szót érdemel, hogy tudjak róla.
A matematika külön szívügyem. Olyan embert találni viszont, aki képes lenne biblikusan, de a matematikai részt is általam is érthetően átlátni, s így a tévutakat lerövidíteni, nem könnyű. Sokáig a matematikus volt számomra a precízség és a logikus gondolkodás etalonja. Ma már másképp látom. B fakultációs totál reál beállítottságtól, ateista neveléstől, hosszú út vezetett odáig, hogy ma már a teológiát tekintem a precízség és a logikus gondolkodás etalonjának. A Tudománynak. Így ezt Ádám egy későbbi bejegyzéséhez is írhatnám. Persze nem úgy általában, hanem azt a teológiát, amelyik előtt a Biblia feltétlen tekintély. Egy ilyen teológus ott találkozik a precízséggel, hogy a bibliai fogalmakat a Biblia tanulmányozása egyre részlet gazdagabban tárja fel előtte. S ez egy ponton azért haladja meg a matematika precízségét is, mert ebbe már nem férnek bele olyan elnagyolt fogalmak, mint a „végtelen”. Minél többet elemez egy teológus egy igét, annál jobban látja, hogy minden vesszőcskének jelentősége van. S itt már nem csak a képzett teológusokra gondolok, hanem a hívő emberekre is akik teljes bizalommal olvassák a Bibliát. Az egyes igeszakaszok mindig tudnak addig észre sem vett részletekkel szolgálni. Innen értheti meg az ember, hogy egy matematikus miért nem jut feltétel nélkül Isten elfogadására. Nem elég precíz, akármennyire meglepő is ez az állítás. Viszont ebből az is következik, hogy lehetne precízebben is végezni. Gondolkodásom egy fontos része irányul ennek a lehetőségeinek a megtalálására. Bár ezt inkább valami háttér tevékenységnek élem meg. Időnként jön egy egy újabb „intuíció”, amit kisebb nagyobb nehézség árán valahogy sikerül megfogalmaznom, amennyire tőlem telik ellenőrizni. Mivel nincs igazi kontroll így a dolog nagyon lassan lépdel előre.
A visszahatás valóban rossz kifejezés. Talán jobb „kerek egészről” beszélni, ahol a szép rendben, azaz ellentmondás nélkül van együtt alapfogalom és az őt leíró axiómák. A visszahatás arra akart utalni, hogy ha egy axiómát cserélek azzal együtt az alapfogalom értelme is megváltozik. A matematikában az egyik legszebb, amikor egy-egy diáktárs gondolkodását kellett követni. A tanárt is nem egyszer próbára tette, hogy egy-egy megoldási javaslatnál használt fogalmakat kihámozza, s közérthetővé tegye, hogy mind rá bólinthassunk. Hol van már a Bolyai előtti kor, amikor mindenkinek egyen gondolkodónak kellett lennie.
A többire később válaszolok.
Kedves Hunor!
Ha nem is mindig értek veled egyet (és bevallom, nem is mindig értelek), tisztelem a Szentírásba vetett feltétlen bizalmadat, és egyetértek veled abban, hogy az Isten előtti megalázkodás, amit a Szentlélek munkál ki bennünk, alapvető a legfontosabb dolgok megismerésében. Szívesen végighallgatnék egy beszélgetést közted és mondjuk John Lennox (oxfordi keresztény matematikus) között, akit igen nagyra tartok. Egy-két gondolatodról matematikus végzettségű édesanyám véleményét is meg fogom kérdezni. Figyelemmel olvasom dzsaszper reakcióit is. Köszönöm, hogy időt szánsz a kommentelésre.
yuki, nem látsz ellentmondást a kommented első és utolsó része között?
Koncepció nélkül nincs megfigyelés. Nem lehet a megfigyeléseket előnyben részesíteni, mert azok csak értelmetlen adatok, ha nincs mögötte egy elmélet, ami magyarázza.
Nos, a tudomány nem úgy működik, ahogy a tudományfilozófusok elvárják, a tudósok pedig általában elég gyenge tudományfilozófusok. Ez azért van, mert a természettudomány és a tudományfilozófia nagyon eltérő területek és kevesen vannak, akik mindkettő működését egyszerre tudják átlátni. A legrosszabb fajtából valók márpedig azok a tudományfilozófusok, akik teleologikusan állnak hozzá a kérdéshez. Pl. az apologéták, akiket nem a tudomány érdekel, hanem isten létének bizonyítása a tudományfejlődés alapján. Vagy pl. Carnap, aki a bécsi kör filozófiáját akarta látni a tudomány működésében. Ez olyan, mintha a tudomány nem azzal foglalkozna, hogy mik a kísérleti adatok, hanem hogy mit tartanak szükségszerűnek a hipotetikus elméteik szerint
Peano 1-4-et erősen másképp látom. Szerintem nem vitás, hogy a 0,|,||,|||, … sort tökéletesen leírja az 1-2 axióma. A 3. axióma kimondja hogy | jelek véges sora nem lehet egyenlő 0-val. A 4. axióma pedig azt, hogy | jelek eltérő sora egyben eltérő jelentésű is.
A legegyszerűbb értelmezés adja magát. Nem helyi értékes 1-es számrendszer, ahogy például valaki „pálcikákkal” vagy „kavicsokkal” számlálja a juhait. Van szűkebb és bővebb értelmezés is. Értelmezhetjük Q tetszőleges felsorolásának (bővebb), de mondjuk a páros számok felsorolásának is (szűkebb), de például számok nélküli fizikának is (más). Ez utóbbi E. Szabó László meglepő felvetése: Minden fizikai mennyiségnek külön-külön Peano axiómák. 🙂
Legszűkebb? Ilyen nincs. (Tudom, tudom te az 5. axiómával együtt értetted, erre visszatérek.) Tegyük fel, hogy van. Párosítsuk |-t a || párjával, ||-t a |||| párjával, és így tovább. Még szűkebb értelmezést kaptunk, ami ellentmondás.
A magam részéről a legegyszerűbb, már említett (leg)természetesebb értelmezést nevezem standard természetes számoknak. Lapok terítve.
Peano 5 szerepe a kiválasztott értelmezéshez kapcsolódik. Abban igazad van, hogy ez egy lezárás, de éppen ezt kell precízé tenni, hogy értsd mit értek nem standard természetes számok alatt.
Talán te is úgy gondolkodsz az 5. axiómáról, mint egykor én is. Leírom, azt megmondod, hogy jól látom vagy sem. Mindenesetre szerintem az oktatás is ezt sugallja. Igaz egy T tulajdonság 0-ra? Igaz egy standard természetes számra akkor igaz a rákövetkezőjére is? Akkor még mindig szükség van az 5. axiómára, hogy azt mondhassuk, hogy igaz minden standard természetes számra. S így érthető mit értesz legszűkebben, azt amin én a standard természetes számot értem.
Ezzel kapcsolatban azonban van egy meglepetésem. Ha egy T tulajdonságra igaz 0-ra és ha igaz tetszőleges természetes számra és annak rákövetkezőjére, akkor már nem kell az 5. axióma ahhoz, hogy igaz legyen a legszűkebb halmazra. Indirekt tegyük fel, ugyanis, hogy a feltételek teljesülnek, de mégsem teljesül valamelyik standard természetes számra az adott T tulajdonság. Ekkor van legkisebb T tulajdonsággal nem rendelkező természetes szám. Az amelyikhez legelőször elérünk 0-ból rákövetkezéssel. Ha ilyen nincs, akkor T igaz a teljes legszűkebb halmazra. Ha viszont van, az két esetben lehetséges és mindkettő ellentmondásra vezet: A 0 az, de ez ellentmond azzal a feltétellel, hogy T igaz 0-ra. Egy nem 0 standard természetes szám az. Ekkor ez egy olyan természetes szám rákövetkezője, amire T még teljesül. Ám ekkor a rákövetkezőjére is teljesül a másik feltétel szerint. Q.E.D. Vagyis a legszűkebb halmaz esetében a Teljes indukció tétel, azaz következik a 1-4 axiómából.
Peano 5. axiómájára tehát egészen más okból van szükség. Olyan elemek bevonására, melyek nem kaphatók meg 0,|,||,|||,… elemeiként, így rájuk a Teljes indukció sem tétel.
Miért kellenek ilyen elemek? Mert a legszűkebb túlságosan szűk. Brouwer természetes számai.
Vegyünk ugyanis tetszőleges standard természetes számot. Milyen távol van végtelentől? Végtelen távol. A [0,1] szakasz két végpontjával ezt a tulajdonságot próbáltam érzékeltetni. (Attól most vonatkoztass el, hogy a szakaszon mit értek, mert úgy vettem észre, hogy ez a lényegtől elterelte a figyelmed.) 0-ban vannak a standard számok, melyeket egységesen végtelen (kiterjedés nélküli pont) választ el az 1 által ábrázolt végtelentől. A nem standard természetes számok azok, melyek ezt a hézagot áthidalják. Az ő bevonásukhoz kell Peano 5. axiómája.
Amíg úgy hisszük, hogy az 5. axióma kell a standard elemekhez is, erősen meglepőnek találjuk Skolem eredményét, mely kimutatta, hogy Peano 1-5 esetén nem standard elemek is szükségképpen jelen vannak. Valójában azonban ez teljes összhangban áll azzal, hogy Peano 1-4 elég a standard elemekhez. Így Peano 5 bevonására csak akkor van szükség, ha bővebb halmazt akarunk. Ekkor viszont ne csodálkozzunk, ha bővebb halmazt is kapunk.
@Hunor,
az 5. axióma ahhoz kell, hogy ne bővíthesd a természetes számok halmazát akármivel is, mint pl. egy új, nem összefüggő
X, X|, X||, X||| sorral, vagy
Y, Y| = Y
vagy Z, Z|, Z|| = Z vagy ehhez hasonló ocsmányságokkal, amiknek az eredeti sorozathoz semmi köze.
Az 1-4 axióma igaz marad az ilyen bővítésekkel együtt is.
Amikor a legkisebb _standard_ természetes számra hivatkozol, implicit felhasználod Peano 5-öt!
Ami a legszűkebbet illeti, ha jól értelek, a párosítás maga a | hozzáfűzése Tehát ha már ||-ról, vagy ||||-ról beszélsz, akkor már rögzült a párosítás, és nem párosíthatsz tovább szabadon.
És valóban, a 1,2,3,…,n,… sorozat egy-egyértelműen megfeleltethető a 2^0,2^1,2^2,…,2^(n-1),… sorozattal. Tehát amíg nem mondasz mást az ugyanannyian vannak témában, addig a Cantor-féle definíció szerint ugyanannyian vannak. Azonos számosságú halmaz lehet egy halmaz és annak egy valódi részhalmaza, ráadásul egy elég ritkára/gyérre megválasztott részhalmaza a Cantor-féle számosság szerint. És akkor mi van? Ez számomra csak arra hívja fel a figyelmet, hogy a végtelennel csínján kell bánni, és nem szabad gondolkozás nélkül végesen megszokott eszközökkel nekiesni, mert meglepetések érhetnek 🙂
Egyelőre nem látom, hogy milyen megfeleltetést varázsolsz az akármilyen természetes számok (azt sem értem, milyenek a nemstandardok) és a (0,1) közé. Ez sokkal jobban zavar, mint hogy a szakaszon mit értesz).
@dzsaszper
Számomra az „az 5. axióma ahhoz kell, hogy ne bővíthesd a természetes számok halmazát akármivel is, mint pl. egy ” kezdetű mondatod arra utal, hogy naiv axióma fogalmat védelmezel. Modern ételemben nincs olyan, hogy „a természetes számok”, amiket axiómákkal kellene megvédeni. Ahol az 5. axióma arra lenne hivatva, hogy megvédjen az „ocsmányságoktól”. A naiv megközelítés egy valamilyen értelemben „független” létezőhöz keres axiómákat, a matematikát felfedezi. A modern megközelítés az axiómáknak adja az elsőséget, a matematikát feltalálja. Alapvetően naiv párti vagyok, de annak tekintélyét csak a modern alapokon lehet visszanyerni. Hagyjuk el a valóban naiv elemeket és olyan számfogalmunk lesz, ami túlmutat elődein.
Azt írtad korábban, hogy szerinted a természetes számok a Peano 1-5 axiómákat kielégítő legszűkebb halmaz. A naiv elképzelés az, hogy ez egy nyílt halmaz: (0), |,||,|||,… Vagyis a standard elemek. Régebben ezen is gondolkodtam, s akkor arra jutottam, hogy modern értelemben ez nem más mint a (0),|,||,|||,…, oo. Akárhogy formalizálják mindig lesz nemstandard elem benne, ez Skolem eredménye. S ez a legegyszerűbb, hogy a oo legyen az. Felejtsd el, hogy a oo nem természetes szám! Modern értelemben csak az számít, hogy az axiómák ki legyenek elégítve! Márpedig oo| := oo értelmezéssel ez maradék nélkül teljesül.
Péter Rózsa: Játék a végtelennel című könyvét kívülállóknak írta, hogy rávilágítson mivel is foglalkoznak valójában a matematikusok. Általános iskolásként egykor kaptam belőle egy példányt. Ma egész jó hasznát veszem. Beszél például a végtelenbe vetített szemlélet veszélyeiről. Most egy ilyet mutatok be, hogy értsd mire is jó nálam a [0,1] szakasz.
Vegyünk a [0,1] szakaszt. Osszuk fel n egyenlő részre, ahol n természetes szám és egyre csak növekszik. Idézem Péter Rózsát a 242.oldalról, ő egy hasonló példa előtt írja: „Ott, ahol először volt szó erről a gondolatkörről, vigyáztam arra, hogy őszintén fogalmazzam meg azt a nagyon veszélyes mondatot, amin az analízis áll, vagy bukik. Így szólt ez a mondat: ‘A szemléletünk az mondja, hogy ha határtalanul folytatjuk is az egymásba skatulyázott számközök képzését, az, amivé összezsugorodnak, mindnyájuknak közös része lesz.’ Már hogy mondhat valamit a szemléletünk egy végtelen folyamatól? Elfelejtettük volna, hogy a végesben tapasztaltakat semmi jogunk sincs átvinni a végtelenre? Mondhatok erre egy újabb példát is, ami ismét kellően gondolkodóba ejthet.”
Amikor n egyenlő részre osztjuk az egységszakaszunk, akkor az egyes részek hossza 1/n. Amíg n egy az |,||,|||, … elemek közül, addig csak véges számú egyenlő részre osztjuk a szakaszt, mégpedig maradék nélkül. Végtelenbe vetített szemléletünk azt súgja, hogy ha határtalanul folytatjuk, akkor olyan felosztást kapunk, ahol minden természetes szám egyenlően részesül a szakaszból, úgy hogy abból továbbra sem marad ki semmi. Azt gondolhatjuk, hogy akárhol „bökünk” a szakaszra egy természetes számot jelölünk ki vele.
Ez egészen addig jól is működik, míg be nem vezetünk egy újabb axiómát: 1/oo := 0. Ezzel azt kapjuk, hogy n*1/oo = n*0 = 0, minden (0),|,||,|||.. elemeiből vett n-re. Ugyanaz az 1/oo „rész” tartozik hozzájuk, mégpedig a szakaszunk ‘0’ kezdőpontja. A oo aritmetikát is axiómákkal vezethetjük be. Ekkor megláthatjuk, hogy a standard számaink azért „szorultak” a ‘0’ pontba, mert a többit a oo elfoglalja. Például ‘0,5’ pontra bökve 0,5*oo-re bökünk, ami a oo aritmetika miatt maga is oo.
Jól mutatja ez, hogy miért nem lehet a (0),|,||,|||,… sort önmagában formalizálni. Pont amiért a szakaszunkat nem tudjuk csak köztük kiosztani. Szerintem nem tévedek nagyot, ha rekurzívan elválaszthatatlannak mondom a (0),|,||,|||,… standard sort, valamilyen nemstandard elemtől vagy elemektől.
Ugyanakkor emlékezz vissza, hogy megállapítottuk, hogy a természetes számok 1/n-ed részéig el lehetne jutni, akkor a végéig is el lehetne, ami azt az ellentmondás szülné, hogy ki tudnánk lépni a „végén”. Vedd észre, hogy ez azt jelenti, hogy ha a ‘0’ pontban vagy, akkor rákövetkezéssel innen nem léphetsz ki. Így engem messze nem zavarnak a nem összefüggő részek. Sőt kifejezetten kívánatosak. Amikor a szakasz egy ‘pontjára’ bökök, akkor csak az számít, hogy ott immár nem egy természetes számot találok, hanem egy halmazt, melynek elemeire páronként igaz, hogy valamelyikük a másikból rákövetkezéssel megkapható. Ekkor egy-egy természetes számot két adat jellemez: a szakaszbeli ‘helye’ és immár csak ezen belül a (0),|,||,|||,… elemek közötti értéke. Ha a két adat közül az első a ‘0’ pont, akkor standard természetes számról beszélünk. Egyébként nem standard természetes számról. Ha már mindenképpen van nem standard, akkor ennek pont annyi a létjogosultsága, mint a (0),|,||,|||,…,oo esetnek.
Tüntessük el a oo-t! Ehhez az a felismerés szolgál segítségül, hogy immár az, hogy a (0),|,||,|||,… sornak vég nélkül folytatódik, másképp ellentmondásra jutnánk, csupán a standard természetes számokra van kihatása. A nemstandard elemek között formálisan definiálhatunk egy értéket, aminél nem engedünk meg nagyobbat. Ezt jelöltem H-val és rendeltem az ‘1’ ponthoz. Ekkor ‘1’ szimmetrikus szerepű lesz ‘0’-val. Akkor értjük ezt meg, ha bevezetjük a megelőző fogalmát, mint a rákövetkezés „fordítottját”. Ahogy 0-nak nem rákövetkező, úgy H nem megelőző.
Térjünk vissza most már az egységszakasz szemléletünk szerinti felosztásához. Immár 1/H részekre osztjuk a szakaszt, ahol 1/H > 0. Az, hogy még sem érhetünk a szakasz ‘1’ végére az biztosítja, hogy 1/H olyan kicsi, hogy a számláló tetszőleges standard természetes szám is legyen, még mindig kisebb számot kapunk mint a legkisebb pozitív standard racionális szám. (Attól standard, hogy standard természetes számokból kapjuk.) Úgy is mondhatjuk, hogy 1/H maga a racionális számok kiterjesztése, maga is nem standard racionális szám. S olvassuk újra Péter Rózsa szavait „mindnyájuknak közös része.” S lám ez itt is igaz, csak itt a közös rész nem egy kiterjedés nélküli pont, hanem egy 1/H kiterjedésű pont.
Idézzük ismét Péter Rózsát, 227. oldalól: „Hilbert … is elismeri, hogy … az ‘aktuális végtelennel’ szemben felhozott aggodalmak jogosak, mindezekben ott rejtőzik a veszély. De miért dolgozunk ilyen veszélyes, véges eszünket meghaladó, ‘transzfinit’ fogalmakkal? Jó okunk van rá, és nem is fogunk kényszerítő ok nélkül lemondani róla. Ezek teszik lehetővé, hogy nagy, átfogó elméleteket építsünk ki, hogy összefüggéseket derítsünk fel, távoli területek között. Jól rávilágít erre, az intuicionizmus felaprózódó, részekre széthulló matematikája. Nem akarjuk elejteni a veszélyes fogalmakat, amelyek egyetlen hatalmas épületté forrasztják össze a matematikát.”
Brouwer intuicionizmusa ellen pont ezért fogalmazott így Hilbert: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.” „No one shall expel us from the Paradise that Cantor has created.” „Senki sem űzhet ki minket abból a paradicsomból, amit Cantor teremtett nekünk.” http://en.wikiquote.org/wiki/David_Hilbert
H-val úgy válthatjuk le a oo-t és ezzel veszélyeitől is úgy szabadulhatunk meg, hogy nem jutunk vissza az intuicionizmus széthulló matematikájához. Ezt azért tehetjük meg, mert van olyan formális rendszer, melyben 0-ból nincs elérhető legnagyobb, de mégis van legnagyobb. Ezt a két addig összemosott fogalmat szétválasztva nyílik meg előttünk egy újabb út. A tudomány fejlődése során nem egyszer esik ez meg, hogy addig összemosott fogalmak kettéválva új lehetőségeket tárnak fel.
H esetén például azonnal buknak ki a felesleges fogalmak. S ne feledjük H véges mégis 1/n-ként kifejezhetetlen kis hányadában elfér az a végtelen amit 0,1,2,3,… sorként ismerünk.
@Hunor,
nem védelmezek én semmit. Csak azt szeretném, hogy a természetes számok halmaza, mint halmaz, jól definiált legyen.
Az 1-4 axiómákkal még nem jól definiált. Amit standard természetes számoknak nevezel, az mindenképp benne van, de belepakolhatsz még amit nem szégyelsz. oo| = oo is ilyen belepakolás, H is, A| = B, B| = C, C| = A is…
Annyi természetes számok halmaza lesz, amennyit csak akarunk és mind különbözni fog. Mindben benne lesznek a standardok… a különbség az lesz, hogy mi egyéb lesz benne.
Az 5. axióma kizárja azt, hogy bármit is belepakolj, és ezzel jól definiálttá teszi a halmazt.
A oo belepakolása is kizárt, mert a
P(x) = [ x /= oo ] állításra nem teljesül az 5. axióma.
Ilyen értelemben beszéltem legszűkebb természetes számokról. Csak standard, és az mind, mert mint korábban mondtam a rákövetkezésekkel eldőlt a párosítás, a standard elemek közt már nem lehet mazsolázni.
Tehát oo is, H is, bármi hasonló már bővítése a természetes számoknak, legalábbis annak, amit én értek alattuk, a Peano 1-5 kapcsán.
A Péter Rózsa idézetek annyira pongyolán fogalmaznak, hogy nem látom értelmét érdemben foglalkozni velük. Ezzel az egy mondattal azonban mélyen egyetértek: „Elfelejtettük volna, hogy a végesben tapasztaltakat semmi jogunk sincs átvinni a végtelenre?”
A nemstandard elemekkel mellesleg ugyanaz a bajom, mint a Peano 1-4-gyel: nem mondhatni őket jól definiáltnak.
Addig amíg a szakasz hossza nincs jól definiálva, addig bűvészkedni 1/H hosszal nincs sok értelme. Főleg addíg, amíg a természetes számok fogalma, amivel felépítjük a racionális majd a valós számok halmazát, nem is jóldefiniált.
Mindenesetre a standard természetes számokon értelmezve a szakaszhosszat, odáig jutunk hogy lim 1/n = 0.
Hozzáteszem, hogy a standard természetes számokon és az abból felépített valós számokon nincs értelme végtelen határértékről beszélni, csak divergáló sorozatról.
@dzsaszper
„Az 5. axióma kizárja azt, hogy bármit is belepakolj, és ezzel jól definiálttá teszi a halmazt.
A oo belepakolása is kizárt, mert a P(x) = [ x /= oo ] állításra nem teljesül az 5. axióma.”
Nagyon szép, de naiv ellenpélda. Ezzel nem az akármilyen, de a bármilyen kiterjesztést kizárod. Legyen ugyanis R(x) = [ x megkapható kizárólag Peano 1. és 2. felhasználásával]. A kiterjesztések pont attól kiterjesztések, hogy R(x) nem teljesül rájuk. Viszont ekkor Peano 5 következik Peano 1-4-ból, vagyis tétel!
Az, hogy ez esetben Peano 5 miért tétel, már leírtam valahol: Indirekt belátható, hogy ha egy T tulajdonságra teljesülnek a feltételek [T(0), T(n) => T(n|], de mégis lenne olyan n, melyre ~P(n), akkor ellenmondásra jutnánk. Ha lenne ilyen n, akkor lenne legkisebb is. Ez vagy a 0, ám ekkor T(0) [1. feltétel] és ~T(0) [indirekt feltevés] egyszerre teljesülne, vagy létezne olyan m, melyre m| = n, ekkor T(n) [2. feltétel T(m) => T(m|).] és ~T(n) [indirekt feltevés] teljesülne egyszerre. Indirekt feltevésünk mindkét ágon ellentmondásra vezetett. Q.E.D.
Ha Peano 1-4-gyel az a bajod, hogy nem jól definiált, akkor ez igaz az így értelmezett Peano 1-5-re is.
~P(n) helyesen ~T(n)
@Hunor,
1a. persze hogy kizárok vele bármilyen kiterjesztést. Ettől lesz a dolog jóldefiniált. Ha nem zárom ki a kiterjeszstést, nem egy halmazról beszélek, hanem sokról. Akkor nincs természetes számok halmaza, csak természetes számok halmazai. A Peano 1-5 ilyen értelemben a legszűkebb.
1b az olyan ertelemben vett kiterjesztést persze nem zárom ki, hogy N* = N U { oo }. A Peano 1-5 csan N-re kell teljesuljon.
2. a bizonyításodban felhasználod a legkisebb n-et, ami feltételez egy teljes rendezést. Teljes rendezés meg nincs feltétlenül. Peano 1-5 esetében van, meg némely kiterjesztések esetében van.
De terjesszüki ki a O,|,||,|||,… sorozatot a
…,///,//,/,*,*|,*||,*||| sorozattal, úgym hogy T állítás az az, hogy T standard természetes szám. n pedig mondjuk legyen *. Hol van itt legkisebb n?
Mitől lenne Peano 1-5 nem jól definiált?
Helyesen:
terjesszüki …,///,//,/,*,*|,*||,*|||,… sorozattal, úgym hogy T(x) állítás az az, hogy x standard természetes szám (avagy azt, hogy x összehasonlítató 0-val egyáltalán, hiszen csak részleges a rendezés). n pedig mondjuk legyen *. Hol van itt legkisebb n?
@dzsaszper
Amit legszűkebbnek nevezel, az az intuicionisták számfogalma, az amit Peano 1-2-vel konstruálni lehet: 0 (Peano 1) → | (Peano 2) → || (Peano 2) → ||| (Peano 2) → … A konstruálhatóság maga is egy T tulajdonság, amire teljesülnek Peano 5 feltételei, így a következménye is. Ez teljesen jól definiált, hiszen tetszőleges megengedett jelsorozatról egyértelműen eldönthető, hogy tagja vagy sem. Ez egyben az általános természetes számok leírása, abban az értelemben ahogy létezik az általános síkgeometria leírása.
Az, hogy egy bővítés használhatja e az eredeti nevet, megállapodás kérdése. Az általános síkgeometriának van 9 (Cayley-Klein) egymással ekvikonzisztens bővítése, melyik így továbbra is „a síkgeometriát” írják le.
A természetes számok esetében kifelé könnyű bővíteni egészek, racionálisok, ám ezek egyben új nevet kapnak, a belső részletezés gazdagíthatósága is ismert, összeadás, szorzás, hatványozás. A kérdés az, hogy létezik-e olyan bővítés, mely nem követel magának új nevet is egyben.
Mit jelent az általános természetes számok bővítése? Legalább egy új * elem bevezetését. Ha nem vagyunk intuicionisták, akkor természetes szám fogalmunk mindenképpen tartalmaz ilyen elemet. Peano 1-5 esetében azonban ez már egy másik természetes szám fogalom, új nevet illene neki adni. Egyébként: R(x) = [x 0-ból konstruálható] ellentmondásra vezetne, hiszen ekkor az 5. axióma – ami ekkor már tényleg axióma lenne – szerint ez *-ra is teljesül, de * elem pont attól új, hogy nem teljesül rá.
A * bevetése előtt fontos pontosítani Peano 1-4 megfogalmazásait, abban az értelemben, hogy egyértelmű legyen, hogy 0-ból megkonstruálható elemekre írja elő rákövetkezést például a 2. axióma. Ez azért fontos, mert ekkor az új * elemre szabadon eldönthetjük, hogy legyen rákövetkezője vagy sem, anélkül, hogy az általános természetes számokat ez bármiben befolyásolná. Peano 5 is úgy pontosítandó, hogy csak az általános természetes számokra terjedjen ki a hatása. Ekkor viszont felesleges.
Szóba került a rendezés kérdése. Íme egy lehetséges megoldás: 0 < | <|| < ||| <… <|||* < ||* < |* <* < *| < *|| < *||| < … Itt egyben * elemre megelőzőket is meghatároztunk. Itt éppen nem engedünk meg keveredést, vagyis a 0-ból elérthető elemek mind kisebbek a *-ból elérhető elemeknél. Az is látszik, hogy a „legkisebb n” szerepét az „elérhetőség” vette át.
Saját bővítésem rendezése a [0,1] szakaszon való ábrázolásból leolvasható. Ha 0 < p < q < 1 konstruálható racionális számok (vagyis amelyeknek nevezője és számlálója is 0-ból konstruálható természetes szám), akkor a rendezésünk: 0 < | < || < ||| < … < |||pH < ||pH < |pH < pH < pH| < pH|| < pH||| < … < |||qH < ||qH < |qH < qH < qH| < qH|| < qH||| < … < |||H < ||H < |H < H. Világos ebből az is, hogy 0 esetén csak rákövetkezést, H esetében csak megelőzést engedünk meg, a közbenső esetekben mindkettőt.
Megegyeztünk, hogy ha N p-ed részéig el lehetne jutni, akkor végig is tudnánk érni rajta. Ám a hivatkozás lehetőségét megteremthetjük. Mivel ez a bővítés erről és nem többről szól, szerintem jogosan nevezhető a természetes számok leírójának, de a megnevezés végső soron megállapodás kérdése. A lényeg a használhatóság. Ne feledjük még az örökkévalóság órája is a 0 < | < || < ||| < … részben fog járni. A többi csak ideális elem, matematikai segédeszköz az épület egysége érdekében.
Hasznosság?
Elsőre furcsa lehet például oo nélkül határértékről beszélni. Na de ezt egyelőre meghagyom gondolkodásra, most ennyi bőven elég volt…
@Hunor,
Ami a Peano 1-2-t illeti, nagyon sok mindent megenged.
Egyebek közt pl. {0, A, B, C} -t is, ahol mondjuk 0| = 0, A| = B, B| = C, C| = A.
Ez nem felel meg Peano 5-nek, de mondjuk { 0, |, ||, ||| } ahol |||| = ||, az már igen.
Ahhoz, hogy egy adott axiómák által leírt halmazról beszélhessünk, ahhoz az kell, hogy az axiómák izomorfiától (nem matematikusoknak, ebben a környezetben: a jelölés különbözőségétől) eltekintve egyetlenegy halmazra teljesüljenek. Ekkor nevezem a halmazt az axiómák által jól definiáltnak.
Hogy egy bővítés milyen nevet használ, az egy dolog, az kevésbé zavar. Te a Peano 1-4 által meghatározott halmazról beszéltél, pedig nincs ilyen egyetlenegy halmaz, mert irdatlan sok nem izomorf halmaz van, ami teljesíti a Peano 1-4 axiómákat.
Ami a *-ot illeti, Peano 1-4 bőven elég pontos és egyértelmű abban, hogy megengedi. Tessék eldönteni, hogy mik az axiómák, és nem utólag változtatgatni.
Peano 5 azért nem felesleges, ha N-t utólag bűvítjük, mert N legalább jóldefiniált. Peano 5 nélkül nem az, adtam rá 1 példát a nagyon sok közül, ami N alatt érthető Peano 1-4 alapján.
Ami a rendezést illeti, egyrészt önkényesen választasz a rendezések közül, pedig axióma nem mond róla semmit, de ennél még sokkal nagyobb baj is van.
Még a te rendezésed sem segít azon, hogy nincs legkisebb elem. Ugye a standard természetes számokra nem igaz az általam választott állítás, |*-ra igen, és bármely n-re [ /^n jelölje |||…|*-ot, amiben n pálcika van], ha /^n lenne a legkisebb, akkor /^(n+1) kisebb nála, és igaz lesz rá, hogy nem standard természetes szám. A standard természetes számok meg nem tudnak segíteni, mert rájuk hamis az állítás.
Addig nem vagyok hajlandó bővítésekkel foglalkozni, amíg meg nem mondtad, hogy mi a csudát akarsz bővíteni…
oo nélkül határértékről beszélni?
A klasszkus definícióban nincs oo… lim a(n) = b akkor, ha n természetes számra (Peano 1-5 szerint) van e, hogy minden m természetes számra igaz, hogy ( m >= n ) ==> ( | a(m) – b | < e ). Sehol nem írtam oo-t, ;s nem volt szükségem a standard természetes számok bővítésére. Ennek annyi ára van, hogy a halmaz nem teljes limeszre. Lényegében ott vagyunk Gödel nem teljességi tételénél.
@Hunor,
az örökkévalóság (akárcsak órájának) modellezésébe pedig nem pedig mernék belevágni. Hogy lesz-e órája az örökkévalóságnak, vagy sem? fogalmam sincs. Azt tudhatjuk, hogy Nap nem lesz, egyébként meg „amit szem nem látott, fül nem hallott és ember szíve meg sem gondolt…”
klasszikus limeszt helyesbítem, fáradt vagyok…
A klasszkus definícióban nincs oo… lim a(n) = b akkor, ha minden e>0 környezetre van n természetes szám (Peano 1-5 szerint),hogy minden m természetes számra igaz, hogy ( m >= n ) ==> ( | a(m) – b | < e ). Sehol nem írtam oo-t, ;s nem volt szükségem a standard természetes számok bővítésére. Ennek annyi ára van, hogy a halmaz nem teljes limeszre. Lényegében ott vagyunk Gödel nem teljességi tételénél.
@dszaszper
„Ami a Peano 1-2-t illeti, nagyon sok mindent megenged.”
Nem enged meg semmi mást mint ezt: 0,|,||,|||,… reguláris kifejezéssel: |*. Az, hogy ezen belül ne lehessen például || = |||||, vagy ||| = 0, azt a Peano 3-4 teszi hozzá, amit egyszerűen úgy is fogalmazhatunk, hogy amit Peano1-2 eltérően állít elő, az legyen is eltérő. A sorrendet pedig az előállítás „hossza” definiálja, vagy inkább írja körül.
„Addig nem vagyok hajlandó bővítésekkel foglalkozni, amíg meg nem mondtad, hogy mi a csudát akarsz bővíteni…”
Hát |* -ot, vagyis a 0,|,||,|||,…-t. Az, hogy Peano 1-2 átal előállított jelsorozatok értelmezése sok mindent megenged nem érdekes, mert itt most csak a jelsorozattal magával foglalkozunk. A puszta jelekkel. Az értelmezés már egy másik dolog.
„Ahhoz, hogy egy adott axiómák által leírt halmazról beszélhessünk, ahhoz az kell, hogy az axiómák izomorfiától (nem matematikusoknak, ebben a környezetben: a jelölés különbözőségétől) eltekintve egyetlenegy halmazra teljesüljenek. Ekkor nevezem a halmazt az axiómák által jól definiáltnak. Hogy egy bővítés milyen nevet használ, az egy dolog, az kevésbé zavar. Te a Peano 1-4 által meghatározott halmazról beszéltél, pedig nincs ilyen egyetlenegy halmaz, mert irdatlan sok nem izomorf halmaz van, ami teljesíti a Peano 1-4 axiómákat.”
Peano 1-4 ezt teljesíti. Mert mondjuk | helyett /-t írsz. Ha e jelölésbeli eltéréstől eltekintesz ugyanazt kapod. Kevered az értelmezést, magával a halmazzal, amit az axiómák egyértelműen meghatároznak. Már Peano 1-2 egyértelműen meghatározza, Peano 3-4 már maga is az értelmezés része.
„Ami a rendezést illeti, egyrészt önkényesen választasz a rendezések közül, pedig axióma nem mond róla semmit, de ennél még sokkal nagyobb baj is van.”
A lényeg, hogy van ilyen rendezés, s nekem ez elég. S szerintem önkényes vagy sem, elég természetesen adódik.
„Még a te rendezésed sem segít azon, hogy nincs legkisebb elem. Ugye a standard természetes számokra nem igaz az általam választott állítás, |*-ra igen, és bármely n-re [ /^n jelölje |||…|*-ot, amiben n pálcika van], ha /^n lenne a legkisebb, akkor /^(n+1) kisebb nála, és igaz lesz rá, hogy nem standard természetes szám. A standard természetes számok meg nem tudnak segíteni, mert rájuk hamis az állítás.”
Sehol sem állítottam, hogy magukon a |* elemeken belül van legkisebb. Ahogy 0|*-on belül nincs legnagyobb, s |*H-n belül legkisebb úgy a közéjük eső pH|* között nincs legnagyobb, |*pH között legkisebb.
Az örökkévalósággal csak azt akartam érzékelni, hogy ahogy annak nem lesz vége, úgy nincs vége a 0,|,||,|||,… résznek sem. Valaki fogja magát és húzza a strigulákat egyiket a másik után végnélkül alkalmazva Peano 2-öt. Még ő sem fog elérni egy pH alakú számhoz.
Igen Weierstrassék a szigorúság forradalmának keretein belül oo nélkül definiálták a limeszt. Vagyis amikor azt írjuk lim_{n→ oo} n , akkor valójában csak arra gondolunk, hogy a n a 0,|,||,|||,… elemein megy előre. Ám ez valójában meg sem közelíti végtelent. Weierstrassék a potenciális végtelent írták le, vagyis a vég nélkül való folytathatóságot. Amivel szerintem H használata többet ad, az a következő. Míg lim_{n → oo} n = oo, lim_{n → oo} 2^n = oo, addig lim_{n → H} n = H, lim_{n → H} 2^n = 2^H. Vagy míg lim_{n → oo} 1/n = 0, addig lim {n → H} 1/n = 1/H. Ezek összetett határértékeknél érdekesek igazán. Ráadásul H használata esetében a sorozatnak van utolsó tagja, maga a határérték, így felső határ axióma nem bővíti azt.
A oo használata esetén nehézsége ütközik a következő sor határértékének az értelmezése: |P{0}|,|P{0,|}|,|P{0,|,||}|,|P{0,|,||,|||}|, … → |P{N}| ?
lim_(n → oo) 2^n = oo, számosságra lefordítva alef_0. Igen ám, de |P(N)| = gót_c és nem alef_0. Vagyis a |P{0}|,|P{0,|}|,|P{0,|,||}|,|P{0,|,||,|||}|, … → ? |P{N olyan véges részhalmaza melynek van legnagyobb eleme és minden nála kisebb elem is tagja az adott részhalmaznak, s nincs őt valódi részhamazként tartalmazó ugyanilyen tulajdonságú részhalmaza}|
Ha a karakterisztikus polinomok növekvő sorrendjével vesszük a felsorolást, akkor ezt úgy is mondjuk, hogy a 0, 1, 01, 11, 001, 011, 101, 111, … sor csak a „véges” részhalmazokon fut végig. Ezek számossága oo vagy alef_0, Míg P(N) tartalmazza a „végtelen” részhalmazokat is. Igen, de ha a oo-t csak határértéknek használjuk, akkor mit is értünk végtelen részhalmaz alatt? Szemléletesen „látom”: olyat amiben van * elem is. Ez azonban negatív megközelítés, jobb ha arról szólok, hogy mit ajánlok helyette.
H használata esetében |P{N}| = 2^H+1. Nincs két külön számosság. 2,4,8,16 → 2^(H+1), mivel a sorozatnak H+1 tagja van, s így az utolsó 2^(H+1). Ezért nem is kell H esetén már a számosság fogalmát sem bevezetni. Itt a legkisebb eltérésnek is jelentősége van. {0,|,||,|||,…,H} = H+1, {|,||,|||,…,H} = H. S természetesen a véges aritmetikán belül tartózkodva nincs valódi részhalmazzal való párosítás sem.
Félreérthető: |* elemeken belüli legkisebb természetesen a * elem megelőzői közti legkisebbről szól, nem pedig a korábban ugyanígy jelölt reguláris kifejezést, hisz ott 0 volt a legkisebb.
Kedves Hunor és dzsaszper!
Meg tudnátok fogalmazni egy vagy két tömör és mindenki számára érthető mondatban, hogy mi a vitátok tétje (különösen a fenti cikk fényében)? Előre is köszönöm.
@Hunor,
amennyire értelek, végül te is elismered, hogy mind az 5 axiómára szükség van, hogy egyértelmű legyen, milyen halmazról és rákövetkezésről van szó és ne állhasson senki elő mindenféle vadabbnál vadabb ötletekkel…
@Ádám: a vita arról szól, hogy más dolog az,
1. ha egy axiómarendszer mérhetetlen sok egyéb mellett megengedi azt is ami mi szeretnénk, tehát építkezés közben nem kerülünk ellentmondásba — de ha valaki teljesen máshogy építkezik, durván más eredményt is kaphat
2. ha egy axiómarendszer pontosan azt és csak azt írja le amit szeretnénk.
Visszafordítva ezt a blogposztok sorozatára is, a vita nagyon hasonló ahhoz, hogy nagy a különbség aközött, hogy „akár így is történhetett, ki tudja milyen kis valószínűséggel” és a „tény hogy így történt” között.
Csak itt nincs valószínűségi mező, az axiómák közt mindenki szabadon azt épít amit akar, és addíg, amíg a másik nem hágja át az axiómákat, köteles vagy a másik akár „ördög ügyvédje” építkezését is legitimnek elfogadni, ha az axiómák teljesülnek…
@Hunor,
amennyire értettem, azt állítottad, hogy Peano 1-4 keretei közt, ha valamilyen T(x) állítás teljesül valamilyen n-re a halmazból, akkor lesz legkisebb is. Peano 1-4 közt ez nem áll fenn, kell hozzá még valami más. Ez a más lehet Peano 5 is, vagy valami hasonló. Csak a Peano 1-4-re építve azonban ez a lépés a bizonyításodban (további axióma, feltételezés nélkül) nem áll meg.
Köszi! A te értelmezésedben te érvelsz az 1., Hunor pedig a 2. mellett?
@dzsaszper:
„amennyire értettem, azt állítottad, hogy Peano 1-4 keretei közt, ha valamilyen T(x) állítás teljesül valamilyen n-re a halmazból, akkor lesz legkisebb is. Peano 1-4 közt ez nem áll fenn, kell hozzá még valami más. Ez a más lehet Peano 5 is, vagy valami hasonló. Csak a Peano 1-4-re építve azonban ez a lépés a bizonyításodban (további axióma, feltételezés nélkül) nem áll meg.”
Pszeudokóddal:
1. x : =0; // Peano 1 alapján.
2. Amíg ~T(x) addig {x : = x|; // Peano 2 alapján.}
Ha nincs T(x) tulajdonságú elem, akkor örökké fut, s ekkor persze legkisebb sincs.
Ha van T(x) tulajdonságú elem, akkor ez a futás a legkisebb ilyennel tér vissza.
Milyen előttem rejtett előfeltevést látsz itt?
„amennyire értelek, végül te is elismered, hogy mind az 5 axiómára szükség van, hogy egyértelmű legyen, milyen halmazról és rákövetkezésről van szó és ne állhasson senki elő mindenféle vadabbnál vadabb ötletekkel…”
Amit elismerek az, az, hogy léteznek 0-ból rákövetkezéssel előállíthatatlan természetes számok. Ezek formalizálására teszek kísérletet a természetes számok fogalmán belül. Kívül Robinson épített fel ilyet. Peano 1-4-et Robinson Q aritmetikának is nevezik. Robinson erre építette fel a szupernaturális számokat az irracionális számok mintájára. Amiben a megközelítésem ettől biztosan eltér, az az, hogy míg a szupernaturális számok nem konstruálhatók, ahogy az irracionális számok sem, addig az általam javasoltak igen.
Kedves Ádám!
A magam részéről nem nevezném vitának. Egy bő 100 éves egyenuralkodó tradíció mellé vagy helyett próbálok vázolni egy lehetséges nézőpontot. Aztán ez a nézőpont lehet hibás. Lehet ekvikonzisztens a tradicionálissal, s végül kiderülhet, hogy a tradicionális bizonyul ennek fényében hibásnak. (Bolyai annak idején még úgy gondolta új, más világot teremtett. Az utókor kiderítette, hogy amit alkotott, az ekvikonzisztens volt Eukleidész művével. Ekvikonzisztens = együtt sírnak vagy együtt nevetnek. Ha az egyik ellentmondásos a másik is az. Nem más világ, csak új, másik nézőpont.
A tét például az, hogy létezik-e igazságok összessége, vagy csak igazságok univerzumai, melyek egyike sem tartalmaz minden igazságot, mert egyszerűen együtt nem létezhetnek, ellentmondásmentesen. (kontinuum hipotézis például egyszerre biztosan nem lehet igaz és hamis. Ám esetleg lehet, hogy egyik igazság univerzum ezt a másik azt hordozza.) Ez persze megint nem a vita tétje, inkább csak számomra egy motiváció. Kinek van igaza, aki szerint a Biblia az igazságok összességét képviseli, vagy annak aki mindenkinek a saját igazság univerzumát engedi megteremteni.
@dzsaszper
A javasolt modellben Peano 1-4 axiómasémaként szolgál. Egyrészt a rákövetkezés lehet megelőző is. Itt persze kizárással is élek, ami megint egy korlátozás, előfeltevés beépítése. Másrészt a 0 szerepét sok egyéb elem is helyettesíti. Amit ehhez hozzáteszek a 0 szerepét betöltő elemek közti rendezés meghatározása. 0 < p < q < 1 esetén 0(H) < pH < qH < H. Ha két összehasonlítandó „0” eleme azonos, akkor a belül a sorrendet a megelőzés, rákövetkezés határozza meg. Azt is felteszem, hogy x| = y, akkor és csak akkor ha x = y|, vagyis a két művelet egymás ellentettje.
Ha jól sejtem te végig axiómasémaként tekintettél Peano 1-4-re vagyis neked a 0 elem nem jelentette automatikusan a nulla (alma) megtestesítőjét. Én viszont Peano 1-4 alatt alapból csak ezt a konkrét esetét értettem. Ezt értem standard természetes számok alatt. Számomra már az axiómaséma újabb alkalmazásai is kilépést jelentenek az axiómákból, ezzel együtt viszont a 0,1,2,3,4,… által maghatározott halmazból is. Ebben a 0,1,2,3,… részben ha van akár egyetlen T(x) tulajdonságú elem, akkor van köztük legkisebb. Talán ez az észrevétel is közelebb visz egymás megértéséhez.
Helyesen: x| = y x = |y.
Ádám,
én leginkább azt képviselem, hogy
I. fontos a különbségtétel 1. és 2. között
II. 1. esetén el kell fogadni mindenféle olyan konstrukciót, amire eredetileg nem is gondolt az aki az axiómákat lefektette, nem csak azt, amit ő akar kihozni belőle.
Nem tudom, hogy Hunor hogy értékeli a vitánkat, de inkább én állok a 2. oldalán és nem elégszem meg az 1-gyel.
@Hunor,
a pszeudokódos algoritmusod sose fog eljutni a nemstandard számokig. Ugyan a halmaznak van olyan eleme, amire az állítás igaz, sose fog megtalálni egyet se. Mellesleg nincs is legkisebb.
Mindezt lényegében azért, mert ezzel az algoritmussal implicit felhasználtad Peano 5. axiómáját. Ahol nem teljesül az 5. axióma, ott továbbra is nem feltétlen igaz, hogy van legkisebb elem.
Ahhoz, hogy legyen legkisebb elem, valami olyasmire van szükséged (elégséges feltétel következik), hogy csak véges számú elemmel bővíthetsz, ami mind nagyobb mind az összes standard természetes számnál. Semmi axiómád nincs, ami ezt garantálná. Sőt, már a saját |H-s modelledre sem lesz igaz az, hogy ha van a halmaznak eleme, amire igaz az állítás, akkor van legkisebb elem is.
=> a bizonyításod helytelen Peano 1-4-en, az ellenpélda halmazom eleget tesz Peano 1-4-nek, és nincs legkisebb elem.
Nem értem, mit értesz axiómaséma alatt.
A problémám nem az, hogy új megközelítést behozni. Hanem az, hogy az sem egyértelmű, hogy mi az nálad, hogy univerzum, nem egyértelmű, hogy miket akarsz összehasonlítani. Egyetlenegy halmaznak (természetes számok halmazának) nevezel valamit, ami irdatlan sokféle halmaz lehet, és aztán példát konstruálsz é a példa alapján bizonyítottnak látsz dolgokat az axiómákon, miközben egy példától nem lesz semmi sem bizonyított, de egyetlenegy ellenpélda cáfol! És ami bizonyításnak nekifutsz, ott hivatkozol legkisebb elemre, anélkül, hogy garantáltan lenne legkisebb elem.
Ellenpéldával megmutattam, hogy Peano 1-4 keretei közt egyáltalán nem garantált, hogy tetszőleges állításra, ami legalább egy elemre teljesül, van legkisebb elem, amire az állítás teljesül.
A bizonyításod elbukik azon a lépésen, hogy nem hivatkozhatsz a legkisebb elemre. Az általad választott axiómák megengednek olyan halmazt és rákövetkezést is, amit te nem szeretnél, és amire a tételeid és bizonyításaid nem állnak meg. Mint mondtam, a tételeidhez a Peano 1-4-en túl további axiómá(k)ra is szükséged van.
@Hunor,
amennyire értem, axiómaséma alkalmazása alatt azt érted, hogy csak az axiómák alkalmazásával építed fel ahalmazt.
Én meg azt, hogy kapsz egy tetszőleges halmazt, akárhogy is konstruálva, ami eleget tesz az axiómáknak.
Óriási a különbség. Lényegében Peano 5 az, ami a természetes számok esetében megtiltja, hogy a többi axióma alkalmazásán túlmenően új elemeket hozz be.
@dzsaszper
Kezd tisztulni a kép. Számodra Peano 1-4-et minden olyan halmaz kielégíti, aminek van olyan részhalmaza, ami kielégíti. Rendezés pedig csak ezen a részhalmazon teljes, a többi elemmel való kapcsolatról semmit sem mondhatunk. Peano 5 pedig ahhoz kell, hogy ez a részhalmaz egyben a teljes halmaz is legyen, s így biztosítva a teljes rendezést is egyben.
Egyszerűen: http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Peano_axiomak.htm
Jobb híján „elképzelsz” egy univerzum halmazt és azt szűkíted axiómáról, axiómára.
Én meg az üres halmazból kiindulva, axiómáról, axiómára ezt bővítem. Itt nincsenek külső elemek, amiket ki kellene zárni. Nincs benne * elem, hacsak újabb axiómával bele nem teszem. Ebben az értelemben csak olyan halmaz elégíti ki Peano 1-4-et, aminek minden eleme kielégíti. Ha csak egy * elem is szerepel a halmazban az már kiesett. Itt mindig van a rákövetkezés által definiált „legkisebb” n.
Szerintem ez a tisztázás fontos és számomra mindenképpen tanulságos volt. Innen érdemes továbblépni. Most azonban ennyire volt időm.
@dszaszper:
„Nem értem, mit értesz axiómaséma alatt. … Egyetlenegy halmaznak (természetes számok halmazának) nevezel valamit, ami irdatlan sokféle halmaz lehet,”
Hogy mindenki értse: Nem mindegy, hogy minden szabad, amit a törvény nem tilt, vagy csak azt szabad, amit a törvény kifejezetten előír. Ha mindent szabad amit a törvény nem tilt, akkor valóban irdatlan sokféle halmazról beszéltem volna. Amit megfogalmaztam ott – ezek szerint rejtetten – feltettem, hogy z üres halmazból építkezek.
Talán így az is érthető, mit értek axiómaséma alatt. Peano 1-4 axiómáit. Axiómák alatt meg amikor a kezdőértéknek és a rákövetkezésnek konkrét példányát előállítom, amikor a 0-nak is meg a | rákövetkezésnek is konkrétan megfeleltetek valamit. Például
(0),|,||,|||,… esetében „0”-nak a „semmi” felel meg, azaz amikor nincs „birkánk”, nincs neki megfelelő „szalmaszál”, a rákövetkezésnek meg a | jel hozzáírása. A
…, |||H, ||H, |H, H esetén „0”-nak a H felel meg, a rákövetkezés meg a megelőzés, ami a „0” elem elé írással „fejezek” ki.
… |||pH, ||pH, |pH, pH, pH|, pH||, pH|||,… pedig a séma két összevont alkalmazása, „0” szerepében pH van. S az egyik sémában rákövetkezés, a másikban megelőzésként értelmezem |-t, s a „0” elemhez képesti leírással tudatom éppen melyikről van szó.
Felépítésem ezt a három lépést ebben a sorrendben követte. A p maga is az első lépésben előálló elemekre épül: p megengedett alakja szabályos jelsorozattal: (n/m), ahol n és m az első lépés szerinti bármely szám, kivéve a „0” elemet, a semmit, és n < m. Közérthetően: p egy (0,1) intervallumba eső racionális szám, amire már lehet hivatkozni, mert már elő tudjuk állítani őket. Ami esetleg még zavaró lehet p nem egy érvényes jel, hanem mondjuk úgy, hogy egy változó, melyre konkrétan elő van írva milyen jelsorozatok megengedettek.
… |||pH, ||pH, |pH, pH, pH|, pH||, pH|||,… egyben egy „0” elemen belüli rendezést is megadja. A „legkisebb” megint csak egy sémaelem. Legrövidebben konstruálhatót jelent. Ami ha megelőzésről van szó, akkor lefordítva, azaz alkalmazva már éppen a legnagyobb elemet fogja jelenteni. Ebben a példában két rendezés van összevonva: …, ||pH, |pH, pH és pH, pH|,pH||,… Érdemes ezt külön is megfogalmazni:
x| = y, akkor és csak akkor ha x = |y.
Egy dolog maradt hátra. A különböző „0” elemekkel kezdődő meghatározott esetek egymás közti sorrendjének a megadása. Ezt a 0 < p < q < 1 alapján írtam elő:
(0H) < (0H)| < (0H)|| < (0H)||| < …< |pH < pH < pH| < … < |qH < qH < qH| < … < |(1)H < (1)H.
Egy dolgot még szóban is kifejezek: A qH megelőzői is mind nagyobbak pH rákövetkezőinél, azaz nincs átfedés.
Mivel csak azt engedem meg, amit a „törvény”, ezért a fenti leírás egyértelműen meghatározza a megengedett jelsorozatokat és a teljes rendezésüket. Nem érdekel, hogy mi van "kívül".
Tehát a vizsgálat egyik iránya az lehet, hogy ebben az értelemben a megadott számfogalom mire használható. Ez a fontosabb, mert ez mondja meg hogy mit javaslok a „régi” helyett. Ez a pozitív hozzáállás.
A másik irány pedig az, hogy a tradicionális felfogással mi a kapcsolata. Rávilágít-e például valami eddig rejtettre. Ez is fontos, de ebben lehet negatív él. Azonban az összevetés végül is elkerülhetetlen, abban a tekintetben például, hogy melyik használ több fogalmat, Occam elv, … Melyik bizonyul hosszú távon hasznosabbnak.
@Hunor,
valóban kezd tisztulni a kép.
Azonban egy dologban félreértesz:
„Számodra Peano 1-4-et minden olyan halmaz kielégíti, aminek van olyan részhalmaza, ami kielégíti.”
Nem így van. Peano 1-4-et nem elégíti ki pl. a {-1} U N mert -1| = 0, és itt sérül egy axióma.
Azonban nem kötöm meg, hogy a halmaz elemeit csak az axiómák használatával állíthattam elő. Tetszőleges elemeket vehetek fel tetszőleges számosságban, értelmezve rajtuk a rákövetkezést tetszőleges módon, mindaddig, amíg nem keveredek ellentmondásba az axiómákkal.
Nagyon hasonló a köztünk lévő különbség a logika és a konstruktív logika közti különbséghez. (a konstruktív logikában a tagadás nem használható szabadon).
Nagyon lényeges különbség van aközött, hogy csak az axiómák alkalmazásával építkezhetsz, vagy csak leírod a halmaz tulajdonságait. Ezt magyarázom elég régóta 🙂 épp te mondtad: „az irány megválasztása visszahat valamelyik alapfogalomra, hisz egy axióma éppen arra szolgál, hogy egy-egy tulajdonságát megadja az alapfogalomnak”. Szerintem is, épp ezért leíró jellegű axiómákban gondolkozom.
Visszatérve korábbi kommentedre, egy megjegyzésedet még mindig nem értem: „Cantor a standard természetes számokon igaz tulajdonságot, Peano 5. axiómájával egyszerűen extrapolálja a nemstandard természetes számokra.”
Az 5. axióma félreérthetően leíró axióma, konstrukcióra nem használható fel, extrapolációról szó sincs. Az 5. axióma célja, hogy az axiómák által leírt halmazt egyértelműsítse, és a — te értelmezésed szerinti — konstruktív értelmezéssel kapható halmazra szűkítse.
@dzsaszper
{-1} U N példád rossz, hisz -1 a „0” elem, de a lényegét értem és Z megteszi helyette, abban már tényleg nincs megfelelő „0” elem.
Peano 5 felfogható úgy, hogy legyen bármi a halmazban, ha annak 0,|,||,|||,… részhalmazában teljesül egy T tulajdonság, akkor azt ez az axióma érvényesnek nyilvánítja a halmaz többi elemére is. S ez a rendszer ellentmondásmentes lesz, ha Peano 1-4-t ellentmondás nélkül teljesíti.
Vegyük az N U {oo} példádat.
A kulcs, hogy a „=”-t hogyan definiálod. Ha csak N elemeire, akkor:
Azt mondod x \= oo ebben elletmondásra vezet. Nem vezet. Peano 5 alapján az fog belőle következni, hogy oo \= oo. A 0,|,||,|||,… elemekre n = n, a 0,|,||,|||,… elemeken kívüliekre pedig az, hogy x \= oo. Nevesen oo \= oo. Ez csak akkor lenne ellentmondás, ha oo = oo is igaz lenne, de ez semmiből sem következik.
Ha oo-re is, akkor egyszerre lesz igaz, hogy oo \= oo (Peano 5 alapján) és oo = oo (definíció szerint.) Peano 5 ekkor sem zárja ki oo-t, csak nem lesz igaz a kizárt harmadik elve.
@Hunor,
a példám nem rossz, mert N-nel már rögzítettem 0-t, és utólag vettem fel -1-et. Persze N U {-1} bijektíven megfeleltethető N-nek, ezt nem vitatom, de maga az N U {-1} a maga 0 kijölésével és rákövetkezésével nem tesz eleget az axiómáknak. A bijektív megfeleltetés után persze igen, de nem arról beszéltem. Te mintha lazán egy kalap alá vennél egy halmazt azzal, amivel bijektíven meg lehet feleltetni, és megelégszel azzal, ha van olyan egy-egyértelmű leképezés, ami után teljesülnek az axiómák.
Én ennél szigorúbb vagyok, és ha egy ilyen megfeleltetést csinálsz, akkor elvárom, hogy valld be, hogy nem az eredeti halmazon, hanem a leképezetten vizsgálódsz.
Akárhogy definiálhatom „=” -t, és a Peano 1-5-nek igaznak kell maradnia. Ugyanis Peano 5 minden állításról beszél. Tehát ha csak egy állítást is találok, amire Peano 5 nem teljesül, a halmaz nem lehet a természetes számok halmaza. Márpedig találok. Igen, ehhez olyan relációt építek, ami a triviális „=” kiterjesztése azzal, hogy oo = oo. De semmi nem titlja, hogy állítást fogalmazzak meg ennek a relációnak a segítségéevel (hívjuk akárhogy, felőlem lehet „~” is), és senki nem tiltja meg, hogy ezt a kiterjesztést elvégezzem. Az egy dolog, hogy te tudsz kismillió állítást mutatni, ami eleget tesz az axiómáknak, elég nekem egyetlenegyet mutatni, ami nem elégíti ki, és pontosan ez történt.
Ha jól értelek, Peano 5 értelmezésed annak a megkötése, hogy milyen állításokat szabad tenni a halmazon, és amire Peano 5 nem teljesül, az nem tekinthető állításnak. Innentől kezdve egészen más nyelven beszélünk.
Összefoglalás kívülállóknak: Hiszek abban, hogy van értelme a beszélgetésnek, mert az értelmes matematikai állításokat egymás nyelvére lehet fordítani, még ha ez „macerás”, türelem próbáló és időigényes is. Kulcsszavak: szigorúság, Peano axiómák „hatóköre.”
@ dzsaszper
Rendben, legyünk szigorúbbak, s közelítsünk a szűkítésed felől. Először is N U {*} \= N hivatkozásod, csak akkor jogos, ha *-t már kizártad. [* = oo ennek egy speciális esete.] Ehhez Peano 1-5 kevés. (Egyébként nem léteznének Peano 1-5 öt kielégítő nemstandard N értelmezések.) Először is szűkítened kell a következő axiómával:
Azonosság osztályozási axióma. Legyen x = x. Továbbá ha x = y, akkor y = x és ha x = y és x = z, akkor y = z, minden x,y,z számra.
Szigorúan véve Peano 4 ezzel nyeri el az igazi értelmét.
A \= kérdése még összetettebb. Először is önmagában nem tagadása az = relációnak. Ezt egy Dichotómia axiómával kell kimondani, azaz megint csak szűkítened kell:
Dichotómia axióma. Az x = y és x \= y közül pontosan az egyik áll fenn minden x, y számra. // Ezzel a kölcsönös kizárással válnak egymás logikai tagadásává. A nemstandard N értelmezéseknek esetleg ennek az axiómának az elhagyásával lehet valami értelmük.
Peano 1-5 + Azonossági osztályozási axióma + Dichotómia axióma már remélhetőleg tényleg {0,|,||,…} halmazra szűkít, s innentől lesz egyértelmű. Az biztos, hogy ha nincs benne ellentmondás, akkor a szűkítés pont a célnak megfelelő.
Összefoglalva:
Brouwer 0,|,||,… -ben gondolkodott, ami azonban csak potenciális létező.
Cantor a {0,|,||,…} halmazban már mint aktuálisan létezőben gondolkodott. Aktualizálva a oo-t.
A javaslatom újdonsága abban – lehet –, hogy potenciális oo-ben gondolkodom, de azt potenciálisan oo részre szabdalom.
–
@dzsaszper
{0,|,||,…} egyértelműen része a természetes számok halmazának. Ám ennyi és nem több?
Osszuk fel az egységet | egyenlő részre. Sikerül. Osztópontok: 0/| és |/|.
Osszuk fel az egységet || egyenlő részre. Sikerül. Osztópontok: 0/||, |/||, ||/||,
Osszuk fel az egységet ||| egyenlő részre. Sikerül. Osztópontok: 0/|||, |/|||, ||/|||, |||/|||
…
[Az osztópontok 0..n, a szakaszok 1..n -el sorszámozhatóak.]
Határérték?:
Osszuk fel az egységet oo egyenlő részre. Sikerül? Osztópontok: 0/oo, |/oo, ||/oo, |||/oo,…?/oo, ?/oo, oo/oo
Ez számos kérdést felvet, amit így-úgy kezelni illene.
A kezelési javaslatom:
Ha leszűkítésben is gondolkodom, Peano 1-5-öt többször felhasználva – így Peano 5 is mindig csak az adott felhasználáson belül érvényes, de az adott részből leszűkítés esetén is kizárja a felesleget – majd az egyes felhasználásokat vagylagosan megengedve ehhez jutok:
Osszuk fel az egységet H egyenlő részre. Sikerül. Osztópontok: 0/H, |/H, ||/H, |||/oo,…,||pH/H,|pH/H,pH/H.,…,||qH/H,|qH/H,qH/H.,…,||H/H,|H/H,H/H., minden 0 < p < q < 1 racionális számra.
@Hunor,
csütörtök esti kommentedre:
Ha jól értem, a Peano axiómák olyan megfogalmazását használod, ami épít a /= relációra. Persze így is meg lehet fogalmazni és eljátszani, hogy mi történik ha mindenféle vad nem-egyenlő fogalommal játszunk, de én azokat már nem nevezném az eredeti Peano-axiómáknak, csak Peano nyomán valaki más által felállítottaknak.
A Peano axiómák megfogalmazhatóak /= nélkül is, tisztán a rákövetkezés mint leképezés, egy adott elem rákövetkezés szerinti képének használatával. Az = és /= tehát részemről ha nem definíció szerinti értékadást jelentett, akkor pongyola fogalmazás volt, amiről azt mertem feltételezni, hogy az érthetőséget nem zavarta. Lehet hogy ebben tévedtem. Nincs olyan n természetes szám, hogy n| = 0, helyett olvasd azt, hogy nincs olyan n, amire n’0. x’y azt jelenti, hogy x és y rákövetkezési relációban állnak (mármint y rákövetkezője x-nek).
Az = felhasználása a Peano axiómákban egyrészt felesleges bonyolítás szerintem, másrészt megintcsak a jóldefiniáltságot rontja.
@Hunor,
miután fölrúgod az N definíciójának az értelmezését és jóldefiniáltságát, nagyon nem értem, hogy mit értesz osztáson. Nemhogy végtelennel, hanem egyáltalán. Újra kell építened az egészet előlről, és a konstruktív módszer szerintem a nehezebb, mivel kevés tulajdonság áll majd rendelkezésre az axiómaséma alapján.
@dzsaszper
A rákövetkezéssel nem vagy ki a vízből. Az n’0 semmivel sem kevésbé terhelt mint az n| = 0. Amíg nem írod elő hogy 0 := 0, 1 := |, 2 := ||, 3 := |||,…, amik mind 1-1 axióma maga is, addig N tetszőleges permutációja megengedett. Na jó, ha 0-t rögzíted, akkor csak a többi elemet permutálhatod szabadon. Ez az út zsákutca. Ha meg a triviális értelmezésre hivatkozol, akkor nevezzük a dolgot alapfogalomnak és ne akarjuk axiomatizálni.
Ezért nem nevezem az eddigieket vitának, mert ahhoz előbb az alapokban kell megegyezni. Mielőtt végleg kicsúszna a talaj a lábunk alól egy példát adok, ami talán kellően rámutat arra, hogy miért is kellene az alapokat tisztázni.
Vedd a saját N értelmezésedet, beleértve saját rákövetkezés értelmezésedet is, s akkor nem fog zavarni a N értelmezésem. Legyen N minden eleméhez egy következő feliratú kártyád:
„Nem létezik olyan természetes szám, melynél n nagyobb van.”
Azaz egy ilyen kártyapaklid van:
„Nem létezik olyan természetes szám, melynél 0 nagyobb van.”
„Nem létezik olyan természetes szám, melynél | nagyobb van.”
„Nem létezik olyan természetes szám, melynél || nagyobb van.”
„Nem létezik olyan természetes szám, melynél ||| nagyobb van.”
…
Teljesül a 0-t tartalmazó kártya felirata? Igaz, hogy ha az n tartalmú kártya felirata teljesül, akkor az n| tartalmú kártya felirata is teljesül? Peano 5 alapján tehát minden kártya felirata teljesül?
Ha igen a válaszod, akkor fordítsd meg bármelyik kártyát, ez áll rajta:
„Nem létezem?”
Annak aki nem érti lefordítom a kártyák feliratát:
H := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél 0 nagyobb van.” Miért mennyi kártya van ezelőtt?
|H := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél | nagyobb van.” Miért mennyi kártya van ezelőtt?
||H := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél || nagyobb van.” Miért mennyi kártya van ezelőtt?
|||H := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél ||| nagyobb van.” Miért mennyi kártya van ezelőtt?
…
Van aki itt odáig jut, hogy igazából a „véletlen” műve, hogy a kártyák értelmes magyar mondatokat formálnak, de ezt nem szabad semmire sem használni! Valójában a kártyákon ez áll, csak túl hosszú jeleket használt a készítője:
0 := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél 0 nagyobb van.”
| := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél | nagyobb van.”
|| := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél || nagyobb van.”
||| := „Nem létezik olyan természetes szám, melynél ||| nagyobb van.”
A nyelvi értelmezés ellentmondáshoz vezet, tehát tilos! Tényleg ez a helyes feloldás?
@Hunor,
nem értem, miféle zsákutcáról beszélsz.
Peano 1-5 együttesen pont azt írja le, amit szerinted elő kellene írni: 0 rögzítéssel (Peano 1), majd a rákövetkezés függvény kifeszíti a halmazt épp úgy, hogy egyértelmű legyen az eredmény (Peano 2-5).
Ami a kártyákat illeti, nem értelek, mert szintaktiai hiba miatt nem tudom értelmzni már az első kártya feliratát sem.
Vagy fogalmazz magyarul, vagy formális logikai leírással, vagy angolul, de ez az egyveleg számomra értelmezhetetlen.
@dzsaszper
Ha magyarul akarok fogalmazni, akkor a 0,1,2,3,… egy lépcső megmászása. Peano 5 azt mondja ki, hogy a lépcsőn végig lehet menni. Na most 0,2,4,6,… egy másik lépcső. Peano 5 szerint ezen is végig lehet menni. Ám szerintem {2n} lépcső kétszer olyan magasra visz, mint az {n} lépcső, Cantor szerint meg ugyanoda. S érdekes módon az előbbi felfogással az összes 20. század elején felmerült antinómia megválaszolható paradoxonná egyszerűsödik… S továbbra is a lényeg a H szerinti felfogás meggondolása, mert a oo felfogáson sokat lehet rágódni, ami sehova se vezet, csak a matematika relativizálásához.
Egy újabb Péter Rózsa idézet, a Játék a végtelennel (Matematika kívülállóknak) című könyvben (244-245. oldal) írja: „Ez nem szórványos jelenség: egyetlen axiómarendszer sem képes szorosan megfogni azt, amit megfogni akar. Lesz, ami kisiklik belőle, lesz, ami nemkívántan is belejut. Sokat is markol és keveset is fog.
Hogy sokat markol azt a norvég Skolem mutatta meg.
Ha csak a természetes számsort akarjuk megfogni axiómákkal, a maga eredeti rendszerében, óhatatlanul belecsúsznak az axiómarendszerbe e számsor bonyolultabb elrendezései is: nem lehet ezektől elhatárolni.
Ha pedig egy megszámlálhatónál nagyobb individuum-tartományt, például a valós számok halmazát akarjuk pontosan elhatárolni axiómák segítségével, mindig lesz olyan megszámlálható halmaz is, amely befurakodik ide és teljesíti valamennyi axióma feltételét.”
Megmutattam, hogy H esetében mik ezek a bonyolultabb szerkezetek, mik ezek Cantor esetében? Esetleg éppen nem is lehet rájuk hivatkozni, mert pont ez borítaná a rendszert? Csak egy egyszerű kérdés: Mi teszi P(N)-t megszámolhatatlanul végtelenné? Cantor átlós módszere biztosan nem, mert amit így kapunk az csupán egy D, amire viszont igaz, hogy már léteznek azok a felsorolások, ami a vizsgálttal teljesen egyezik, még az elemek sorrendjében is, azzal az eltéréssel, hogy D már szerepel bennük, egyikben a 0., másikban az 1., a harmadikban a 2. helyen, és így tovább… Ha tetszik ezt egy gráfban lehetne ábrázolni, ahol a pontok a lehetséges felsorolások, s egyik pontból akkor vezet irányított él egy másikba, ha az pontosan egyetlen részhalmazzal sorol fel nála többet. Így D előállítására semmilyen megkötés nincs. E gráf azon pontjai az érdekesek, ahonnan már nem vezet ki él. Azt kell megfontolni, hogy mit jelent, ha ilyen pont nincs, s mit ha van.
@Hunor,
amikor magyarul próbálsz fogalmazni, akkor belecsúszol az ellentmondásos nyelvi értelmezésbe… illetve még magyarul is, a {2n} ugyanolyan magasra mászik, csak gyorsabban teszi.
Amúgy pedig az az érzésem, hogy a Löwenheim-Skolem tételt, illetve Skolem paradoxonát félreérted, vagy többet tulajdonítasz neki, mint amit mond… Ezek számomra az elsőrendű logika határait mutatják be: bármi, amit elsőrendű logikával le tudunk írni, legfeljebb megszámlálható. A természetes számok halmaza, amiről beszélek még megszámlálható — a megszámlálhatóan végtelen is megszámlálható –, épp ezért nem látok gondot. Épp Peano 5 garantálja, hogy a halmaz megszámlálható, Peano 5 hiányában nyugodtan hozzávehetnél nem megszámlálható dolgokat is pluszban.
Az viszont egy fura ötletnek tartom, hogy azok után, hogy a valós számokat felépítjük magasabb rendű logika segítségével a természetes számok alapján, utána elkezdjük kicserélni a természetes számokat a valós számok által adott modellel. Egyszer már ráépítettünk a természetes számokra, saját magunk alatt vágjuk a fát a trükközéssel.
Értelmezés alatt ha jól értem, modellt értesz?
Rózsa idézet vége pedig amennyire Löwenheim-Skolem tételét értem, csak elsőrendű logikában igaz. Peano 5 pedig eleve másodrendű logika, mivel minden elsőrendű állításról fogalmaz meg állítást…
Összefoglalva: Nem ugyanazt jelenti végesnek lenni Peano 1-4 és Peano 1-5 szerint. (Ahogy nem ugyanazt jelenti egyenesnek lenni Bolyainál, Eukleidésznél, Riemannál.) Az modern axiomatizálás valódi okairól is van benne némi gondolat.
@dzsaszper
Túlbonyolítod. Az, hogy kell másodrendű logika, hogy van Skolem paradoxon, Löwenheim-Skolem tétel, Haussdorf-Banach-Tarski tétel, Laczkovich-tétel, Gödel két nem teljességi tétele, sőt már maga Cantor főtétele is (|P(N)| > |N| következmények csupán. A matamatika XIX-XX század fordulóján felmerülő problémáknak ez egy túl szoros karámba való beszorítása. Hátha nem maradnak benne farkasok. Ismét Péter Rózsa (228. oldal):
‘Nem kell azt hinni, hogy a halmazelmélet ma is az antinómiák terhét vonszolja magával. Amikor itt volt az ideje (égetően sürgőssé éppen az ellentmondások tették), hogy az eredeti „naiv” halmazelméletet rendbe szedjék, az axiómarendszerét felállítsák, volt rá gondjuk a matematikusoknak, hogy elég szűken határolják körül az alapfeltételekben az alapfogalmat. Úgy, hogy belül marad mindaz, ami a halmazelméletben értékes, a bajt okozó halmazok azonban kívül rekedtek. De ez eléggé mesterséges rendszabálynak látszik: Poincaré hasonlatával élve, kerítést vontunk a nyáj körül, hogy megóvjuk a farkasoktól, de nem tudhatjuk, hogy nem rejtőzött-e el néhány farkas a kerítésen belül is. Újabb ellentmondások felbukkanása ellen semmiképpen sem vagyunk biztosítva.’
Ha azonban alaposan megvizsgáljuk a ‘naiv’ halmazelméletben eredetileg felmerült antinómiákat, akkor azok semmilyen égető kényszert nem tartalmaznak. Például a minden halmazok halmaza azonnal létező valósággá válik, ha nem a halmazt és a halmaz eleme a két alapfogalmunk, hanem a halmaz és a halmaz része, az elemet pedig egy származtatott fogalomként kezeljük. Ekkor ugyanis minden halmazok halmaza egyszerűen önmaga nem valódi részhalmaza, mindenféle ellentmondás nélkül.
Elfogadva az új játék szabályokat, nyilván a halmaz és a halmaz része alapfogalmakra is felépíthető a halmaz fogalma. Ami amúgy természetesebb is, mert mondjuk egy számítógépet is felülről lefelé bont fel egy ember részekre, s nem a szubatomi részecskékből felépülőként gondol rá. Aki Istent apránként akarja magának felépíteni hasonlóan egy sor nehézségbe ütközik. Isten mint Teljesség jelenti ki magát. A két megközelítés mindig is jellemezte az embert. Az istenkép „fejlődése” az evolúció része, kontra: Isten önkijelentése önmagáról. A halmaz és eleme alapfogalmak együttes választása nem szerencsés. Következménye az Univerzum halmaz ködöd képe.
Szóval a ‘naiv’ felfogás ma is tartható, csak a megfelelő alapfogalmakat kell választani. Karámba lehet őket is zárni, de a farkasok enélkül is távol tarthatók.
Akárhonnan indulok el, mindig ugyanoda jutok. Egyszer Dávid Gyula (Matematikusok a fekete lyukból) előadásában szinte mellékesen mondta, hogy „a párhuzamosok nem találkoznak” másik megfogalmazásban „a párhuzamosok a végtelenben találkoznak.” Innen is el lehet indulni: „a természetes számok sora nem ér véget”, „a természetes számok sora a végtelenben ér véget.”
Amit nem látsz, vagy inkább sose gondoltad végig, az az, hogy mi az ára annak, hogy Peano 5 lezárja a természetes számokat. Megváltozik a természetes szám fogalmának az értelme. Peano 1-4: „a természetes számok sora nem ér véget.” Peano 5-tel lezárva: „A természetes számok sora véget ér.” De hol? A végtelenben? Az nem jó, mert az nem természetes szám. A végesben? Az sem jó, mert akkor meg tovább lehetne növelni, ami ellentmondás. Az egyetlen feloldás, hogy Peano 5 megváltoztatja a véges értelmét, ahogy a párhuzamossági axiómák változtatják az egyenes értelmét. Végesben lesz a lezárás, de az a 0-ból rákövetezéssel nem lesz elérhető. Két dolgot tehetünk itt. Elnevezzük oo-nek, de véges aritmetikát alkalmazunk rá. A oo > oo-1 > oo-2 … szerint. Persze ekkor már a oo jel maga zavaró, hisz már nem a végtelenről van szó, helyettesítsük H-val (N görög megfelelője, vagy Hilbert neve után, ha már annyit fáradt a témában.) Ekkor Peano 5 a 0..H- t fogja egybefoglalni. Ezután rájöhetünk, hogy feltudunk osztani immár H egyenlő részre elvileg egy egységet. Kérdezted mit értek osztáson triviális. Azt hogy le tudom írni:, fél, 1/3, háromnegyed, … 1/H. Ebből viszont azonnal adódik, hogy hivatkozni lehet H/2-ként szakasz közepére. Ám ez Sem H-ból visszafelé, sem 0-ból előre nem érhető el Peano 1-4 szerint, mert egyébként egymást is elérhetnék, s máris túl lehetne lépni a „határon”. Ugyanez igaz minden p (0,1) közé eső racionális szám esetén H/p-re. Nosza ezekhez is adjunk meg hivatkozási lehetőséget. A pH+… és pH-… így született, de ezek is mind a 0..H elemei. Visszatérve ide: „A természetes számok nem érnek véget a Peano 1-4 szerinti értelemben vett végesben.”, lefordítva: „A természetes számok véget érnek a Peano 1-5 szerinti végesben.”
A halmazelméleti axiómák között szerepel:”Van olyan halmaz mely nem véges.” Ezt eredetileg így lehetett mondani: „Létezik végtelen halmaz.” A fentiek alapján: „Van olyan halmaz, mely Peano 1-4 szerint nem véges”, „van olyan halmaz mely Peano 1-4 szerint nem véges, de Peano 1-5 szerint véges.” Peano 5 a véges értelmét módosítja.
Cantor egész elméletét érdemes eszerint átgondolni, mert a két véges értelmezést lehet, hogy keveri. Hilbert 1.próblémájánál is ez lehet a háttérben ezért kapunk függetlenséget, s ez vezet a matematika relativizálódásához. Ám most gondoljunk Hilbert 10 problémájára. Nincs általános megoldási algoritmus a diofantoszi egyenletekre. Úgy látom ennek a hátterében is a véges Peano 1-4 és Peano 1-5 szerinti felfogásának összemosása áll. Peano 1-4 szerinti értelmezés mellett ugyanis triviálisan van olyan algoritmus, mely megtalálja a diofantoszi egyenlet megoldását, ha az létezik. (Két változóra Cantor cikk-cakk módszere a minta, ahogy hiánytalanul végig megy a racionális számokon, ezt kell általánosítani. Végig megyünk a változók minden lehetséges értékfelvételén, amikor a legnagyobb értékük 0, majd amikor a legnagyobb érték 1, majd 2, majd 3,… Ha vn megoldás, akkor meg is lesz.) Innen következik, hogy csak olyan diofantoszi egyenlet nem oldható meg algoritmussal, mely meg sem adható. S mikor nem lehet ilyet megadni? Ha Peano 1-5 szerinti értelemben véges ugyan, de Peano 1-4 szerint már nem.
A gráfos megadás is erről szólt volna, ha elgondolkodtál volna rajta. Amit P(N) végtelen részhalmazainak neveznek, azok mind olyanok, melyek Peano 1-4 szerint nem végesek, de Peano 1-5 szerint igen. Ezek teszik a halmazt megszámlálhatatlanná. Pontosabban mégsem, mert a megszámolhatóság éppen N értelmezésének a függvénye. Peano 1-4 szerint valóban nincs párosítás, de Peano 1-5 szerint? Ez is egy döntő szempont itt. Peano 1-4 szerint mást jelent a párosítás fogalma is mint Peano 1-5 szerint…
Gödel első nem teljességi tételében D, vagyis az az állítás, ami önmaga bizonyíthatatlanságát állítja csak olyan Gödel számú lehet, mely Peano 1-4 szerint nem véges, csak Peano 1-5 szerint. Egyébként semmi sem garantálja, hogy ne legyen egy másik Gödel számú állítás eleve a rendszerben, mely D-t igaznak nyilvánítja. Így viszont garantáltan nincs, mert Peano 1-4 szerint kell végesnek lenni minden axiómának, s így minden levezetett tételnek is, ám ha D csak Peano 1-5 szerint véges, azaz természetes szám, akkor Peano 1-4 szerint egyszerűen felírhatatlan.
Ugyanez igaz Gödel 2. nem teljességi tételénél is. Ha levezethető lenne a rendszer ellentmondásmentessége, az maga lenne az ellentmondás. Ez pedig csak úgy akadályozható meg, ha meg sem lehet fogalmazni a kritikus állítást. Mert ha meg lehetne, akkor semmi sem garantálja, hogy nincs eleve a rendszerben, mint axióma. Ekkor ahhoz az ellentmondáshoz jutnánk, hogy egy rendszer ellentmondásmentes, de ha ezt az állítást hozzávesszük ez tenné ellentmondásossá. Érdemes ennek mélységein elgondolkodni. Ha viszont a rendszer axiómáinak száma Peano 1-4 szerint nem véges, s így igaz Gödel 1., de véges Peano 1-5 szerint, akkor a kritikus mondat már túl hosszú lenne axiómának. S részekre sem lehetne bontani.
Érdemes a P =? NP kérdést is meggondolni, Peano 1-4 kontra Peano 1-5 értelmében véges fényében. Peano 1-5 szerinti végest adva a polinomidőnek, az fedni fog minden Peano 1-4 szerinti NP-t…
@Hunor,
nem én bonyolítom túl a dolgokat, hanem a te érvelésed (az axiómarendszerek túl sokat markolnak, Skolem szerint ) hibájára mutatok rá.
Ugyanis csak az elsőrendű logikával megfogalmazható axiómák markolnak túl sokat Skolem szerint, Peano 5 pedig kívül esik az elsőrendű logika által leírható tartományon. Innentől kezdve Peano 1-5 nem kell túl sokat markoljon, és erről szólt a vitánk jelentős része. Miért kellene csak az elsőrendű logika által leírható dolgokban gondolkozni?? Miért lenne tilos állításokról megfogalmazni állításokat?
Amit a természetes számok véget érésével kapcsolatban írsz, az
1. annyira pongyola, hogy értelmezhetetlen, formális leírást kérek
2. azt jelentené, hogy Peano 5 ellentmond Peano 1-4-nek, pedig nem vezet ellentmondásossághoz.
Peano 5 elhagyása valóban változtat a természetes számok jelentésén, mint mondottam, nem beszélhetünk többet természetes számok halmazáról, csak halmazairól, és ki-ki kedvére választhat maguknak közülük, illetve bármi tétel megfogalmazása esetén mindenki más választására is bizonyítani kell tudni…
Egyáltalán nem értem, mit nevezel Peano 1-4 és Peano 1-5 szerint végesnek. Szintén formális leírást kérek.
@ dzsaszper
A „naiv” matematika állítólagos kudarca miatt a modern matematika felhagyott azzal a kísérlettel, hogy egy külső fogalmat próbáljon axiómákkal megfogni. Helyette ma más azt mondja, hogy a „biztonságos” axiómák adnak értelmet az adott fogalomnak. Amikor arról beszélsz, hogy Peano 1-4 nem ad halmazt, mert minden jó hozzá ami nem mond neki ellent, akkor a „naiv” megközelítést használod. A „naiv” megközelítés felfedezi a matematikát, a modern feltalálja. Szerintem amit az ember feltalál, de felfedezni nem lehetne nem része a matematikának, mert ellentmondásos. A kérdés csak az, hogy mikor találjuk meg, értjük meg, fogadjuk el az ellentmondást. E vél érdekében elfogadom a modern megközelítést. Vagyis ha az axiómák mondják meg mi egy halmaz része, akkor amit az axiómákból le lehet vezetni, az beletartozik, amit nem az nem. Egyértelműen eldönthető bármiről, hogy beletartozik vagy sem, így halmazról van szó.
A Peano 1-4 axiómákat a következő négy szabállyal írom le:
S => 0
S => A
A => A|
A => |
S: kezdő szimbólum. S,A: átmeneti szimbólumok (szakszóval: nemterminálisok N = {S,A}, |: befejező szimbólum (szakszóval: terminális T = {|} és végül 0: lambda szimbólum, ami szintén befejező jel, de csak a helykitöltést szolgálja, jelzi, hogy ott egy szám áll, | jelekből, csak éppen nincs benne egy sem, én ezt ideális halmazként veszem fel: I = {0}.
A feladat roppant egyszerű. Megkapjuk az S (start) kezdő szimbólumot, és a fenti szabályok tetszés szerinti egymásutáni alkalmazásával csupa befejező szimbólumhoz kell jutni. A rendszer tételei azok a csupa befejező jelből álló jelsorozatok melyeket megkaphatunk S-ből a szabályok ilyen alkalmazásával. Az egyes tételeket ez esetben Peano 1-4 szerinti természetes számoknak nevezzük. A szabályok alkalmazását mely során S-ből előáll egy természetes szám, levezetésnek vagy bizonyításnak nevezzük.
Peano 3 adódik abból, hogy S nem szerepel szabály jobboldalán, így 0 csak egyféleképpen vezethető le. Peano 4 pedig adódik abból, hogy minden | jelekből álló sorozat levezetése egyértelmű. Egyenlővé lehet nyilvánítani különböző levezetések eredményeit, de az már egy másik rendszer lesz.
Ha szerinted ez nem határoz meg halmazt (esetünkben szakszóval formális nyelvet) mondj egy olyan jelsorozatot, amiről nem tudod eldönteni, hogy levezethető-e vagy sem benne.
Peano 1-5 megfogásához:
N = {S,A} T = {|,(,)} I = {0,H}
S → 0
S → H
S → A
S → AH
S → (A/AA)H
S → (A/AA)HA
S → A(A/AA)H
A → A|
A → |
Világos, hogy tartalmazza az eredeti tételeket, de annál többet is, vagyis megmásítja a természetes szám alapfogalom jelentését.
H a legnagyobb természetes szám ideális szimbóluma. Az hogy H| nem cáfolja a létét az biztosítja, hogy H| nem vezethető le az adott rendszerben.
A rendezéseket korábban már megadtam.
Amit kaptunk az messzemenőkig fedi azt a „naiv” képet, amit a természetes számokról amúgy gondolunk. Mégpedig nem csak azt, hogy 1,2,3,… vég nélküli, de azt is, hogy 1/n-ed részéig sem lehet elszámolni. Vagyis valóban olyan formális leíráshoz jutottunk, amit fel is fedezhettünk volna.
@Hunor,
Naívnak épp a Cantor teljes munkássága előtti halmazelméletet szokás nevezni. Nem látom, hogy miért csak a naív és az általad modernnek nevezett halmazelmélet lenne…
Amúgy gyönyörűszép formális nyelvtant adtál. Meg lehet próbálni közelíteni a halmazelméletet a formális nyelvészethez, és érdekes lehet hogy a két megközelítés között milyen ekvivalenciák mutathatóak be. De a formális nyelvtanra alapozni a halmazelméletet nem egyszerű, mert a formális nyelvészet is a halmaz fogalmára épít, amikor a nyelv által leírt szavak, mondatok vagy szövegek nyelvéről beszél.
Nem mondom, hogy lehetetlen megcserélni, hogy mi az alap és mik a ház falai, de gyakorlatilag 0-ról való újraépítkezést jelentene. Ha ebben a témában van elérhető szakirodalomról tudomásod, akkor kérlek adj egy kis irodalomjegyzéket 🙂
Az egyértelmű eldöntést pedig gondolom legfeljebb megszámlálható axiómasereg axiómáinak legfeljebb megszámlálható alkalmazását feltételezi — a megszámlálhatót pedig nem a nyelvészetből, hanem a halmazelméletből ismerjük. [Mire mész egy nem megszámlálható axiómasereggel? Hogyan elemzel egy szöveget, honnan tudhatod, milyen axiómákkal van értelme próbálkozni?]
Mellesleg nem értem, Peano 5 kapcsán miért kerül be H és egy csomó nyelvtani szabály. Peano 5 szerintem nem beszél semmiféle H-ról.
@dzsaszper
Cantor maga is „naiv” módon kezdett ötlete megvalósításához, csak akkor tértek át a modern hozzáállásra, amikor úgy vélték éppen a megközelítés miatt jöttek elő mindenféle antinómiák. Kezdetben Cantort mindennek elmondták, de idővel annyira felszabadította a matematikai gondolkodást, annyira gyümölcsözőnek bizonyult a megközelítés, hogy végül már nem voltak hajlandók lemondani róla, az antinómiák ellenére sem. Cantor volt az, aki azt mondta a matematikát nem felfedezi, hanem inkább feltalálja. Egyetlen korlát: az ellentmondásra jutás. Így azután Hilbert mentő programba kezdett. Hilbert híres mondata árulkodó: „Senki sem űzhet ki minket abból a paradicsomból, melyet Cantor teremtett nekünk.” Érdeklődőknek: google: Hilbert program. Egy magyar nyelvű találat: http://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2012/vajda_gergely.pdf
A megszámolhatóságra érdemes majd visszatérni, de előbb H szerét tisztázzuk:
Miért kerül be H. Peano 5 miatt?
S → 0, S → A, A → A|, A → |. (Peano 1-4, amiből 3-4 már értelmezési korlátozás.)
Egy axióma ebben a felfogásban csak akkor van szükség, ha valamit hozzátesz a rendszerhez. Többet enged levezetni, mint nélküle lehetne. Két lehetséges utat mutatok. Az egyikben egy új szabály:
S → oo
Vagy ugyanez bővebben:
S → oo, S → Aoo, S → (A/AA)oo, S → (A/AA)ooA, S → A(A/AA)oo
I = {oo} T = {|,(,),/} N = {S,A}
Ám a két rendszer a végtelen aritmetika miatt egy és ugyanaz. Minden előállított érték egyenlő oo-nel.
A másik út. Ha nem végtelennel akarjuk bővíteni a rendszert akkor egy út marad a véges értelmének a megváltoztatása. Így kerül H a képbe a szabályokban oo-t H-ra cserélve, és a végtelen aritmetikát végesre cserélve. Így Peano 1-5 együtt:
N = {S,A} T = {|,(,),/} I = {0,H}
S → 0, S → H, S → A, S → AH, S → (A/AA)H, S → (A/AA)HA, S → A(A/AA)H, A → A|, A → |
A két megközelítés szavakba is önthető: Mondhatjuk, hogy végtelenig nem lehet elszámolni, se oo-1-ig, oo-2-ig, … oo/2-ig, …, oo/n-ig se. Vagy ugyanezt így a véges felét,… n-ed részét sem lehet elérni. Attól függ a fogalmazás melyik „végéről” nézzük, de ugyanarról szól a két történet. Peano 5 tulajdonképpen annyit tesz a dologhoz, hogy azt a hitünket fejezi ki, hogy mégis egybe lehet foglalni a rendszert. Ezt próbáltam szemléltetni az egységszakasz oo illetve H részre szabdalásával is.
Kiegészítés. Forrásaim szerint nem létezett Cantor előtti halmazelmélet. Cantor első probálkozását, amikor még mint külső fogalomhoz keresett leírást volt a „naiv” halmazelmélet. A halmaz fogalom Cantor nagy találmánya volt. Ezzel demonstrálta (volna), hogy az emberi elme mit fel nem tud találni. Az antinómiák láttán fordították meg a sorrendet és onanntól az axiómák mondják meg mi tartozik bele a fogalomba és mi nem.
@Hunor,
mint elmondottam, a Peano 5 nem akar új levezetési szabályt adni. Tehát a bővítéseknek semmi köze a Peano 5-höz. A Peano 5 a leíró jellegű olvastaban mondja el azt, hogy semmi mást nem markulunk, mint amit az első 4 ad. Elsőrendű logikával Skolem és Löwenheim óta tudjuk, hogy ilyet nem lehet csinálni, de mivel Peano 5 a másodrendű logika nyelvén van, ezért semmi probléma.
Tehát leíró jellegú olvasattal Peano 1-5 és konstruktív olvasattal Peano 1-4 pontosan ugyanaz, leíró jellegű olvasatban Peano 1-4-nek önmagában, további axióma hozzáadása nélkül túl sok értelme még nincs…
Peano 5 olyan értelmezését, hogy konstruktív olvastban mégis egybe lehet foglalni a rendszert, teljességgel elvetem. Elsősorban, mert az sincs rögzítve, hogy milyen rendszert, arról egy betűt sem mond. H-t és/vagy oo-t és/vagy akármilyen más nemsztenderd elemeket szerintem csak te olvasod bele, Peano 5-ben nincsenek ott egyáltalán.
@ dzsaszper
Először egy pontosítás:
N = {S,A,B} T = {|,(,),/} I = {0,H} S → 0, S → H, S → A, S → AH, S → (BA)H, S → (BA)HA, S → A(BA)H, B → |B|, B → |/| A → A|, A → |
Lényeges dolgot mondtál ki, valóban fontos kérdés, hogy a nemsztenderd elemek a rendszer kikerülhetetlen részei vagy sem. Az viszont a naiv matematika része, hogy mit vetünk el teljesen, azaz mit nem fogadunk el, s mit igen. Modern megközelítésben a belső konzisztencia számít csak. Vegyük Gödel 1. nemteljességi tételét. Érdeklődőknek ajánlom: Surányi László: A Gödel-tétel spirituális jelentősége című művét: http://home.fazekas.hu/~lsuranyi/GODEL.htm Azt állítom, hogy a tétel keveri a standard és a nemstandard értelmezést. A tétel azt állítja, hogy a számelmélet bármely modelljében megfogalmazható a következő mondat:
G. A G Gödel számú (igaz) állítás se nem bizonyítható, se nem cáfolható ebben a rendszerben.
Először szorítkozzunk tiszta standard értelmezésre. (G standard, a formulák hossza standard, a levezetés hossza standard)
Mi is a Gödel számozás? Vesszük a rendszer standard hosszúságú formuláit. S például az egyértelmű prímtényezőkre bontást kihasználva – Péter Rózsa ezt teszi már említett könyvében – egy-egy egyedi standard természetes számot rendelünk hozzájuk, ez lesz a Gödel számuk.
Rendben. Ekkor formulázhatók az ilyen mondatok is: ‘A G Gödel számú mondat igaz’. ‘A G Gödel számú mondat hamis’. Tehát ezeknek is van standard Gödel száma.
Speciálisan öt eset lehetséges:
0. eset. Együtt igazak a következők:
G. A G Gödel számú (igaz) állításnak se nem bizonyítható, se nem cáfolható ebben a rendszerben.
G1. A G Gödel számú állítás nem logikai állítás. (Például mert a formális jelek még szintaktikailag sem megfelelően vannak használva benne.)
Ez az eset nyilván érdektelen a számunkra. Másképp: nem létezik benne az adott tétel.
1. eset. Együtt igazak a következők:
G. A G Gödel számú (igaz) állítás se nem bizonyítható, se nem cáfolható ebben a rendszerben.
G1. A G Gödel számú állításnak van logikai értéke.
G2. A G Gödel számú állítás igaz.
Ellentmondás, hisz ezek szerint G mégis csak bizonyítható. G1 a levezetése.
2. eset. Együtt igazak a következők:
G. A G Gödel számú (igaz) állítás se nem bizonyítható, se nem cáfolható ebben a rendszerben.
G1. A G Gödel számú állításnak van logikai értéke.
G2. A G Gödel számú állítás hamis.
Ellentmondás, hisz ezek szerint G mégis csak cáfolható. G1 a tagadása levezetése.
3. eset. Együtt igazak a következők:
G. A G Gödel számú (igaz) állítás se nem bizonyítható, se nem cáfolható ebben a rendszerben.
G1. A G Gödel számú állításnak van logikai értéke.
G2. A G Gödel számú állítás független.
Ellentmondás, hisz ez az előző két eset közül való szabad választást engedi meg, de mindkettő ellentmondásos.
4. eset. Együtt igazak a következők:
G. A G Gödel számú (igaz) állítás se nem bizonyítható, se nem cáfolható ebben a rendszerben.
G1. A G Gödel számú állításnak van logikai értéke.
G2. A G Gödel számú állítás eldönthetetlen.
Mivel az előző esetek mind ellentmondásra vittek, standard keretek között nem maradt más hátra, mint feladni a kizárt harmadik elvét, vele együtt az indirekt bizonyítást is, s áttérni az értékréses logikára, bevezetve harmadiknak az ‘eldönthetetlen’ logikai értéket.
Amúgy vegyük észre, hogy szó sincs eldönthetetlenségről. Hanem arról, hogy a vizsgált mondat nem hordoz logikai értéket, hisz nem kielégíthető. Vagyis ez valójában a 0.eset. Ez tulajdonképpen Brouwer esete. Ő pont ezért nem fogadta el a kizárt harmadik elvét.
A standard eset ezzel teljesen kimerítve. Ebben mint látható a gödeli mondat nem érvényes.
Ha kiterjesztjük a nemstandard esetre is azzal a helyzet semmit sem változik. Azonban ha keverjük a kettőt már igazzá tehetjük a gödeli mondatot:
G. A nemstandard G Gödel számú (igaz) mondatnak nincs standard levezetése, sem standard cáfolata.
Ekkor maga a mondat sem lehet standard hosszú, mert megint visszakapnánk az 0-4 esetet. E mondat viszont akkor és csak akkor nem standard hosszú, ha G maga nem standard hosszú. Marad Robinson esete és a végtelen eset. A végtelen esetben G végtelen számjegyből áll. Robinson esete: Ő is csak Peano 1-4-et fogadja el, hogy definiálhassa K-t: n < K tetszőleges standard nemdeterminisztikus NP polinomiális idő.
Befejezésül az érdeklődőknek egy wikipédia idézet: „Kurt Gödel saját tételeinek következményei hatására vált platonistává, eredményeit úgy interpretálta aminek szükségszerű következménye a platonizmus elfogadása lett. (Tegyük hozzá, hogy Gödel elismeréssel viseltetett azok iránt, akik kiegészítették illetve élesítették tételeit. Nagy jelentőséget tulajdonított annak az átfogalmazásnak, miszerint ellentmondásmentes aritmetikában van olyan diofantoszi egyenlet, mely nem megoldható, azaz nincs olyan véges eljárás, mely megkeresné a megoldásait.)” http://hu.wikipedia.org/wiki/Matematikafiloz%C3%B3fia
Az ilyen diofantoszi egyenlet azért nem megoldható, mert vagy nem standard hosszú, vagy minden megoldásában van nemstandard helyettesítési értéke. A kettő ráadásul összefügg. Ha standard hosszú, akkor a változói helyettesítési értékei is standard hosszúak lesznek minden esetleges megoldásban. Ez abból adódik, hogy a benne használt műveletek mind zártak a standard véges esetre a ‘standard’ tulajdonságra nézve, azaz ha a művelet alanyai standardak az eredmény is standard. A standard eset megoldásai – ha vannak – pedig szisztematikusan megkereshetők. Cantor cikk-cakk bejárása Q-ra adja hozzá a mintát. Először bejárjuk azokat az eseteket ahol a változók értéke legfeljebb 0, majd ahol legfeljebb 1, majd ahol legfeljebb 2, … ha van megoldás, ez a módszer mindig megtalálja a standard esetben. A nemstandard esetek H nélkül nem kezelhetők, mert meg sem adhatók.
Összefoglalva:
Nem teheted meg, hogy csak a standard esetre szoritkozol, de megakarod tartani Gödel 1. nemteljességi tételét:
Ha Gödel 1 nemteljességi tételét elfogadod, akkor nemstandard számfogalmad van.
Ha csak a standard számfogalomra szorítkozol, nincs Gödel 1. nem teljességi tétele.
H megmutatja, hogy van olyan nemstandard kiterjesztés, ahol nem érvényes a Gödel 1. nemteljességi tétele.
G1 a levezetése helyett mindenütt G2 a levezetése.
@Hunor,
én is hadd idézzem a Wikipédiát elöljáróban, angolul
„Although the usual natural numbers satisfy the axioms of PA, there are other non-standard models as well; the compactness theorem implies that the existence of nonstandard elements cannot be excluded in first-order logic. The upward Löwenheim–Skolem theorem shows that there are nonstandard models of PA of all infinite cardinalities. This is not the case for the original (second-order) Peano axioms, which have only one model, up to isomorphism. This illustrates one way the first-order system PA is weaker than the second-order Peano axioms.” ( http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#Nonstandard_models )
Amúgy ismerem Gödel nemteljességi tételeinek bizonyítását, nem értem, miért volt szükséges ennyit írnod, ráadásul úgy, hogy aki nem ismerei a bizonyítást, az lehetőleg ne értse meg…
„Az ilyen diofantoszi egyenlet azért nem megoldható, mert vagy nem standard hosszú, vagy minden megoldásában van nemstandard helyettesítési értéke.”
Eddig a mondatig még elég jól tudtalak követni. De itt nem értem, miféle nemstandard hosszról beszélsz.
Gyanítom, hogy megoldható egyenletekhez is lehet találni nem-standard modellt, ami nem-standard helyettesítési értékre is megoldható lesz. Mármint a diofantoszi egyenlet ismeretében, annak függvényében meg lehet fabrikálni a nemstandard modellt, amiben az egyenletnek lesz standard és nemstandard megoldása is. Innentől kezdve kevés az, hogy van nem-standard helyettesítési érték.
Azt pedig végképp nem értem, hogy az összefoglalásodnak mi köze a fölötte leírtakhoz.
Nemstandard számmodellem nem akkor van, ha elfogadom Gödel első nemteljességi tételét, hanem akkor, ha az elsőrendű nyelvekre szorítkozom. A Gödel számozás és a diagonizálás köszöni szépen működik a magasabbrendű nyelvekre is.
Mivel a H-val való kiterjesztés gödeli értelemben elég erős, avagy „valamirevaló”, hiszen kiterjesztés, tehát tartalmazza a természetes számokat, elég merésznek tűnik az az állításod, hogy ne teljesülne a kiterjesztésen a tétel 😛
Két megjegyzés:
1. nem túl meglepő, hogy a természetes számok standard modelljén nem megoldható diofantoszi egyenlethez is lehet fabrikálni olyan nem-standard modellt — persze kiterjesztésként — ahol az adott egyenlet megoldható lesz. Itt fontosnak tartom megjegyezni, hogy a diofantoszi egyenletek nyelve elsőrendű (first-order), mivel egyenletet nem paraméterezel másik egyenlettel.
Persze az eredeti, másodrendű Peano axiómákon nincsenek nem standard helyettesítési értékek 🙂
2. Nyilván van olyan kiterjesztése bármelyik modellnek, amiben az eredeti modell G állítása nem eldönthetetlen. Ha felveszed axiómának az eredeti modell G állítását, akkor pont ilyen kapsz. Vagy ha G tagadását veszed fel axiómának, akkor dettó.
De ettől még Gödel nem teljességi tétele igaz marad, csak nem az eredeti állítással. G ugyanis (nálad is) tartalmazza azt, hogy melyik rendszerről van szó, tehát megfogalmazható G’, amely szerint G’ nem bizonyítható és nem cáfolható a kiterjesztett rendszerben,
teszt.
teszt2.
@dzsaszper,
Összefoglalva: Egy ítélet lehet, hogy éppen attól igaz, hogy valamiről kimondja, hogy hamis. A kétértékű logika totális félreértése, ha az igazság kimondását kevernénk magával az igazsággal, igaznak mondva ezzel a hamisat is, csak mert helyes ítéletet mond.
Érdeklődőknek egy olvasmányosnak szánt cikk:
A viccek esete jól mutatja, hogy minden standard vicc sorra kerül és standard sorszáma van. Így ha van vicc, amiről nem tudnak dönteni, az csak nemstandard lehet, amiről viszont nem világos, hogy mitől kellene egyáltalán viccnek tekinteni.
A számelmélet esete azonban ettől merőben eltérő, mert ott a gödeli mondat standard hosszú. Az a feloldás, hogy adjuk neki nemstandard sorszámot, nyilván csak akkor használható, ha a levezetések továbbra is a standard számokra szorítkozhatnak, egyébként a bővített rendszerben ellentmondásra vezetne a nemstandard sorszám. Ekkor viszont az, hogy nincs levezetése illetve, hogy nemstandard a sorszáma csupán eltérő „szaknyelven” mondja ki ugyanazt a tényt: A mondat hamis. Egyébként lenne standard sorszáma.
Hogy lehet egy mondat hamis, ha igazat mond? Nos ez itt a kulcs. „A hamis logikai érték hamis.” Ha rosszul állunk ehhez az állításhoz teljesen bele tudunk zavarodni. Ha a mondat igazat mond, akkor a hamis az hamis. Na de ha hamis a hamis, akkor igaz. Ha a mondat hazudik, akkor viszont a hamis igaz. Tehát a hamis mindenképpen igaz. Egy baj van ezzel a felfogással, a kétértékű logika alapértelmét rombolja le teljesen. Amikor egy hamis mondatról helyesen ítélkezve kimondjuk, hogy hamis, akkor éppen az igaztól különböztetjük meg. Igaz ítéletet tartottunk, de nem tettük egyben igazzá a hamist! Ezt kell szem előtt tartanunk más esetben is:
http://hu.wikipedia.org/wiki/Grelling%E2%80%93Nelson-paradoxon Itt a fenti feloldást meg is adtam, s eddig benne hagyták.
Így fogjuk megérteni a gödeli mondatot is: „Nincs olyan x, hogy x éppen G levezetése.” Ez magyarul annyit jelent : „G hamis”. Vagyis ha ezt sorszámoznánk, akkor minden hamis formulát sorszámozni kellene hiszen „Ez a hamis formula hamis” már igaz lenne. Ám amikor azt mondjuk, hogy ez a hamis formula hamis, akkor nem dupla tagadást végzünk! Csupán megismételjük a tényt, hogy hamis. Nincs itt semmi eldönthetetlen.
Fontos megjegyezni, hogy a cikkbeli sorszámozás zavaros. Felejtsük el a rossz formulák sorszámozását. Érdemes a sorszámozásra úgy tekinteni, hogy csak az érvényes levezetéseknek van sorszáma. Történetesen az egy lépésből állók maguk az axióma formulák. Beleértve a levezetési szabályok formuláit is.
Végül a G-vel való bővítésre is érdemes kitérni. Amikor adott az axiómák egy véges rendszere, ott előfordulhat egy olyan igaz állítás, mely nem vezethető le az axiómákból. Ekkor a rendszer bővíthető vele. Ám a Gödel számozásnál nem egy hiányos rendszerből indulunk ki, hanem minden igaz mondatnak eleve van sorszáma. Egy ilyen leíró rendszert már nincs mivel bővíteni. Ebben a rendszerben a Goldbach-sejtés és a tagadása közül pontosan az egyiknek eleve van sorszáma, annak amelyiknek van érvényes levezetése, vagy önmaga jogán vagy egyéb lépésekből összerakva.
Az érdeklődüknek szánt link miatt a hozzászólást elutasította a rendszer így csak körül írni tudom: google: szupernaturális számok -> Maga itt a tánctanár? (szupernaturális számok) Mérő László tudománynépszerűsítő írásáról van szó.
Egy mélyebb, de elgondolkodtató cikk: http://philosophy.elte.hu/leszabo/Preprints/MAKOG03/szl_szemantika.pdf
@Hunor,
mint már mondottam, nincs szükségem Gödel nemteljességi tételének bizonyítására, sem annak részleteire.
Te viszont nem reagáltál arra, hogy mintha csak az elsőrendű nyelvekben gondolkoznál, és ezért tartod elkerülhetetlennek a nemstandard elemeket.
Én reagáltam arra az állításodra, hogy Gödel nem teljességi tételénel elfogadásával el kellene fogadnom a nemstandard elemeket: jeleztem, hogy Gödel nem teljességi tételével nincs semmi gond az eretei Peano axiómákon, ahol Peano 5 másodrendű nyelven megfogalmazott, és ahol izomorfiától eltekintve egyértelmű a természetes számok halmaza: csak a standard modellt írják le ezek az axiómák.
(Ez a vita jól illusztrálja az első rendű és a magasabb-rendű logikák közti különbséget (first-order logic vs. second-order logic) közti különbséget: azt, hogy hatalmas a különbség, ha állításváltozókat használhatunk, mint ahogy azt pl. Peano 5. axiómája teszi.
=> nem ártana az érvelésben és a kimondott tételeidben jelezni, hogy mindaz amit mondasz, csak az elsőrdendű logikára, elsőrendű nyelvekre értendő.
A mindenféle elgondolkodtató cikknek kb. annyi köze a matematikához, mint egy fiktív regénynek a valósághoz: elmélkedik róla, de maga nem matematikai érvelés.
Az ilyen jellegű elmélkedéssel nem tudsz érdemben formális matematikai érvelésre válaszolni. Olyan mintha egy tudományos cikkel akarnál vitázni úgy, hogy egy science fiction regénnyel válaszolsz.
A végeredmény kb az, hogy a valóság nem lehet olyan, mint amire valaki tudományos munkájával jut, mert nem illik bele a filozófiámba. Amikor formális logikai vita van, akkor első körben félre kell tenni a filozófiát. Ha a formális vitát sikerült rendezni, akkor utólag ki-ki elfilozofálhat az eredményen és interpretálhajta kedve szerint.
Az egész helyzet azért furcsa, mert szerintem a neodarwinisták szerintem épp ugyanezt teszik a filogenezis (és hangsúlyozom, nem az egész evolúció, a filogenezis) védelmében. Ez szerintem nekik sem megengedhető, de ugyanúgy tilos ezt az eszközt bevetni az ellenfeleiknek is.
@dzsaszper
Valóban hatalmas a különbség ha használhatunk állítás változókat. http://plato.stanford.edu/entries/logic-higher-order/ jól mutatja, hogy éppen Peano 5 illetve a felső határ axiómáknál van rá szükség. AZ ember innen gyorsan eljut a következő ekvivalens állításokhoz:
http://hu.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller%E2%80%93Tukey-lemma
http://hu.wikipedia.org/wiki/Hausdorff%E2%80%93Birkhoff-t%C3%A9tel
http://hu.wikipedia.org/wiki/J%C3%B3lrendez%C3%A9si_t%C3%A9tel
http://hu.wikipedia.org/wiki/Zorn-lemma
http://hu.wikipedia.org/wiki/Kiv%C3%A1laszt%C3%A1si_axi%C3%B3ma
Érdemes már azt is meggondolni, hogy vajon H használata hogyan viszonyul hozzájuk. Esetlen éppen ~AC és akkor benne R, (sőt maga N is) megszámolható részhalmazt megszámolható uniója? Ez csak azért írom, hogy kicsit szokjuk, gondoljuk meg a H rendszert önmagában is.
Maradjunk a standard N-nél. Teichmüllet-Tukey lemma megfogalmazása szerint N véges részhalmazai között van maximális, hisz a végesség nyilván véges tulajdonság. Egy kérdésem van: Tartalmazza-e ez a maximális részhalmaz halmaz N minden elemét, vagyis minden standard természetes számot? Ha nem akkor melyik a legkisebb, amit nem tartalmaz. (Mivel jól rendezett ilyen legkisebbnek lennie kell!) Ha igen, akkor ez maga N. Vagyis ekkor N maga is véges részhalmaz. S mivel véges részhalmaz van utolsó eleme. Nos a H éppen ezt az elemet szimbolizálja, Vagyis H nem bővíti semmivel a standard számok halmazát! Egyszerűen megnevezhetővé tesz addig megnevezhetetlen elemeket, amik azonban addig is benne voltak.
Amikor valaki N végtelen részhalmaziról beszél, azonnal nemstandard N-re tér át. Az ok az, hogy N-t végtelen részhalmaznak tekinti. Na de látható, hogy ha létezik maximális véges részhalmaza N-nek az csak maga N lehet. (Úgy is belátható, hogy tegyük fel, hogy M véges, de nem tartalmaz minden elemet N-ből. Vegyünk egy ilyen elemet. Ha M véges volt ezt az elemet hozzávéve még véges marad.) Ha N megszámlálható, akkor e módszerrel minden elem hozzávehető. S mivel N maga mondja meg mi számít megszámlálhatónak, így N tetszőleges értelmezése mellett megszámolható lesz.
Összefoglalva: A H rendszer nem bővebb a standard N-nél!
@dzsaszper
Valóban hatalmas a különbség ha használhatunk állítás változókat. http://plato.stanford.edu/entries/logic-higher-order/ jól mutatja, hogy éppen Peano 5 illetve a felső határ axiómáknál van rá szükség. AZ ember innen gyorsan eljut a következő ekvivalens állításokhoz:
nem jelenik meg ezért a wikipédia neveik: Teichmüller-Tukey lemma, Hausdorff-Birkhoff-tétel, Jólrendezési tétel, Zorn-lemma, kiválasztási axióma
Érdemes már azt is meggondolni, hogy vajon H használata hogyan viszonyul hozzájuk. Esetlen éppen ~AC és akkor benne R, (sőt maga N is) megszámolható részhalmazt megszámolható uniója? Ez csak azért írom, hogy kicsit szokjuk, gondoljuk meg a H rendszert önmagában is.
Maradjunk a standard N-nél. Teichmüllet-Tukey lemma megfogalmazása szerint N véges részhalmazai között van maximális, hisz a végesség nyilván véges tulajdonság. Egy kérdésem van: Tartalmazza-e ez a maximális részhalmaz halmaz N minden elemét, vagyis minden standard természetes számot? Ha nem akkor melyik a legkisebb, amit nem tartalmaz. (Mivel jól rendezett ilyen legkisebbnek lennie kell!) Ha igen, akkor ez maga N. Vagyis ekkor N maga is véges részhalmaz. S mivel véges részhalmaz van utolsó eleme. Nos a H éppen ezt az elemet szimbolizálja, Vagyis H nem bővíti semmivel a standard számok halmazát! Egyszerűen megnevezhetővé tesz addig megnevezhetetlen elemeket, amik azonban addig is benne voltak.
Amikor valaki N végtelen részhalmaziról beszél, azonnal nemstandard N-re tér át. Az ok az, hogy N-t végtelen részhalmaznak tekinti. Na de látható, hogy ha létezik maximális véges részhalmaza N-nek az csak maga N lehet. (Úgy is belátható, hogy tegyük fel, hogy M véges, de nem tartalmaz minden elemet N-ből. Vegyünk egy ilyen elemet. Ha M véges volt ezt az elemet hozzávéve még véges marad.) Ha N megszámlálható, akkor e módszerrel minden elem hozzávehető. S mivel N maga mondja meg mi számít megszámlálhatónak, így N tetszőleges értelmezése mellett megszámolható lesz.
Összefoglalva: A H rendszer nem bővebb a standard N-nél!
Gondolhatunk magára a megszámolhatóságra is. Honnan is ered a fogalom maga. Az hogy a véges halmazok elemei ténylegesen megszámolhatóak. Melyik N maximálisan megszámolható részhalmaza? Nem lehet más mint maga N, ezért a a megszámolhatóságot innentől az N-nel való párosíthatósággal váltottuk fel. Igen csak ezzel N maga is megszámolhatóvá, vagyis végessé lett nyilvánítva. Mivel a megszámolhatóság maga is véges tulajdonság és N tekintetében ő a maximális, ami ezt teljesíti.
Hunor, most ugrottál egy nagyot, és már nem N-ről beszélsz, hanem az omega modelljeiről — a természetes számok hatványhalmazának valamilyen részhalmazáról.
Attól függően, hogy hogyan választasz részhalmazt a hatványhalmazból, a Zorn lemma és ekvivaliens állításai vagy teljesülnek, vagy nem. Na és? Ebben nincs semmi ujdonság, de maga a természetes számok, Peano 1-5 által meghatározva, továbbra is izomorf marad, és nem lesz benne nemstandard elem, és igazak lesznek rá Gödel nemteljességi tételei.
A hatványhalmaz részhalmazaiból való építkezés a következő lépés, de ahhoz hogy ezt tisztességgel meg lehessen tenni, ahhoz N-nek jól definiáltnak kell lenni, és ehhez szükség van a Peano 5-re, tehát egy másodrendű logikai axiómára. Persze, Löwenheim-Skolem alapján elsőrendű axiómákkal esély sem lenne.
@dzsaszper
A függés nem a választáson múlik, hanem a választhatóságon, vagyis hogy mit értesz hatványhalmazon. Az pedig, hogy mit értesz hatványhalmazon attól függ mit értesz magán N-en. Standard N egyértelművé teszi standard P(N)-t is.
H pont arra jó, hogy tudjak a teljes standard N-ről és így a teljes standard P(N)-ről is beszélni. Ismétlem a teljes halmazról, nem pedig annak egy részéről. Mivel minden „véges” elem definíció szerint benne van N-ben, s ezek között definíció szerint a legnagyobb, így minden olyan P(N) ami ennél többet tartalmaz, nem a standard N-ről szól.
Két választás van. N-be beleértjük H-t és akkor a Zorn lemma és társai igazak. Ám ekkor ezek tételek is egyben, hisz a kiválasztási axióma véges esetben tudtommal következik az axiómákból. A másik választás, hogy N-be beleértjük a oo-t is. Ekkor viszont már nemstandard N-ről beszélünk. Ekkor már tényleg kellenek az axiómák, de a valóságban éppen a tagadásuk lesz igaz.
Amikor valaki úgy próbál standard N-ről beszélni, hogy közben P(N) végtelen részhalmazairól is szeretne beszélni, akkor egyszerre akar standard N-t és nem standard P(N)-t.
Az, hogy így tesz nem baj, csak éppen érdemes lefordítani, amit mond. Például: Létezik standard N-nek olyan részhalmaza melynek nincs legnagyobb eleme. Fordítsuk le: Létezik standard N-nek olyan részhalmaza melynek oo a legnagyobb eleme. Ez a fordítás mindenkor megtehető függetlenül attól, hogy így gondolja-e az illető vagy sem. Az ellentmondás nyilvánvaló. Konkrétan N-nek nincs legnagyobb eleme. Lefordítva: N legnagyobb eleme a oo. Feloldás: N legnagyobb eleme H. Ez a fordításos játék Poincaré ötlete volt tudtommal. Ezzel is megmutatta a megfelelő síkgeometriák egymásba fordíthatóságát. S itt is kiválóan lehet alkalmazni miután az alapgondolatokat végre nagyjából sikerült tisztázni.
Innen érthető igazán a Zorn lemma és társai szerepe. Ha benne van oo akkor valóban van választási lehetőség, hogy hogyan választunk részhalmazt. A oo választható vagy sem. Ha nem választható, akkor Zorn lemma és társai igazak lesznek egyébként nem. Ha csak H van benne, akkor nincs választásoi lehetőség. De bővítési sincs. Mert a H rendszer definíció szerint a legbővebb még standard N.
Mint már mondtam, Peano 5 izomorfiától eltekintve egyértelművé teszi N-t. (Megteheti, mert second-order)
Innentől se H, se oo nem eleme N-nek, se semmi egyéb ami nem elérhető 0-ból rákövetkezéssel. Persze P(N) is egyértelmű. Ha természetes számokról beszélek, bővítés nélkül, akkor
Amúgy naná hogy van standard N-nek olyan részhalmaza aminek nincs legnagyobb eleme: a páros számok, a páratlan számok, azok a számok, amelynek számjegyeinek összege 535, a négyzetszámok, stb. stb.
Már a „lefordítás oo-re” kivezet N-ből.
@dzsaszper
A helyzet az, hogy H modellezhető standard természetes számként a te gondolatrendszereben, vagyis tévedsz, amikor azt mondod, hogy H nem érhető el rákövetkezéssel 0-ból. Íme: Vegyünk egy szalagot, melyen azonos méretű egymástól eltérő mezők követik rendre egymást. Gondolatkísérletnek megfelelően annyi szalagunk van amennyi csak szükséges. Legyenek sorszámozottak az egymásutáni mezők az | kezdeti értéktől indítva a rákövetkezés szerint, pontosan, hiánytalanul és kizárólagosan a standard N elemeivel. Ha standard N létezik, akkor ez a szalag jól definiált. Legyen minden mező tartalma: |. A szalag tartalmát nevezzük H-nak. Elég világos, hogy H egyben egy létező sorszám is a szalaghoz, vagyis definíció szerint H standard természetes szám. H| viszont nincs a sorszámok között, tehát nem lehet standard természetes szám. Azaz H elérhető 0-ból rákövetkezéssel, míg H| nem. Standard N és H együtt sírnak vagy együtt nevetnek.
@Hunor,
„A szalag tartalmát nevezzük H-nak. Elég világos, hogy H egyben egy létező sorszám is a szalaghoz.”
Csöppet sem elég világos.
„vagyis definíció szerint H standard természetes szám. H| viszont nincs a sorszámok között, tehát nem lehet standard természetes szám.”
Tehát H nem tesz eleget Peano 2-nek, tehát nem természetes szám.
@Erdélyi-Gazsó
Összefoglalva: Mi történik, ha az empirikus megfigyelést szembe állítjuk a valaha megfigyelhetővel. Mi történik, ha gyakorlatilag előállítható természetes számokat szembe állítjuk a természetes számok összességével, amiről senkinek soha nem lesz közelítő tapasztalata sem.
Ajánlott olvasmány érdeklődőknek:
http://members.iif.hu/visontay/ponticulus/rovatok/hidverok/lanczos.html
Gausstól idézi az ajánlott cikk: „Tiltakozom az ellen, hogy a végtelen nagyságot, mint teljességet használják, ez a matematikában sosem engedhető meg. A végtelen csak egy szólás, igazi értelme a határnak van, amelyet bizonyos arányok tetszőlegesen megközelítenek, miközben mások korlátozás nélkül növekedhetnek”, majd a cikk pár soral később így folytatja: „Gauss értelmezése szerint a végtelen nem valami ténylegesen elérhető dolog, csupán egy véget nem érő eljárás, melynek révén egy mennyiséget egyre pontosabban megközelítünk anélkül, hogy valaha is ténylegesen elérnénk.”
Peano 1-4 ezt jól lefedi. Kezdünk egy mezővel, aminek | a felirata. Hozzávarrunk egy újabbat, majd egy újabbat, s ez a folyamat vég nélkül folytatható. A kérdés az, hogy mi az ára annak, hogy a teljes szalagról, mint kész egészről beszélhessünk, Vagyis mi az ára, ha Peano 5 hozzávételével a standard N-t létezőnek tételezzük fel. Amint a feltételt elfogadtuk az egyik ár az, hogy erre a szalagra Peano 2 már nem alkalmazható! Nincs több hozzávarrás! Ezen érdemes gondolkodni. Mindenkinek magának érdemes felfedezést tennie.
Úgy látom, egy cikknél érdekesen küldte el az adatokat a böngészőm :/
@Hunor,
az előző kommentemhez: ha azt mondod, H eleme N, H| nem eleme N, akkor inkonzisztens a rendszered.
Sokkal kisebb bajt csinálsz, ha azt mondod, hogy H| = H. Ez már csak a Peano 5-tel, tehát az eredeti, másodrendű axiómával vezet ellentmondásra, az elsőrendűre átírt gyengébb axiómákkal legalább nem…
Más kérdés, hogy én a jóldefiniáltság hiánya miatt ragaszkodom az eredeti axiómák által leírt standard modellhez, és minden mást annak kimondott bővítéseként értékelek.
Az utóbbi kommentekhez: „Mi történik, ha az empirikus megfigyelést szembe állítjuk a valaha megfigyelhetővel. Mi történik, ha gyakorlatilag előállítható természetes számokat szembe állítjuk a természetes számok összességével, amiről senkinek soha nem lesz közelítő tapasztalata sem.”
Nem teljesen értem, mit nevezel valaha megfigyelhetőnek, illetve gyakorlatilag előállíthatónak. Az utóbbin a legtöbbször jellemzően a rekurzív, vagy rekurzív felsorolható nyelvek kifejezőerejét szokták érteni, de nem értem, hogy az hogy jön ide.
Mivel a formális nyelvek elmélete maga is a halmazelméleten alapul (más tárgyalásról nem tudok), ezért hajmeresztő és elfogadhatatlan számomra minden további nélkül megpróbálni a halmazelméletet a formális nyelvekre alapozni. Ha viszont csak a formális nyelvekből indulsz ki halmazelmélet nélkül, akkor elsőkörben elfelejtheted a valós számokat és a számosságfogalmakat (mi megszámlálható, mi véges stb) és az egészet nulláról kezdve, a halmazelmélet segítsége nélkül kell felépítened. Ebben a témában kértem tőled, hogy nevezz meg szakirodalmat, és nem kaptam.
„A kérdés az, hogy mi az ára annak, hogy a teljes szalagról, mint kész egészről beszélhessünk, Vagyis mi az ára, ha Peano 5 hozzávételével a standard N-t létezőnek tételezzük fel.” Peano 5-öt teljességgel félreértelmezed.
„Amint a feltételt elfogadtuk az egyik ár az, hogy erre a szalagra Peano 2 már nem alkalmazható!” tehát bevallod, hogy a rendszer, amiről beszélsz, ellentmondásos. (Innentől persze nincs akadálya a teljességnek sem, csak milyen áron…)
Nem szembe akarod állítani az előáálíthatót az összességgel, hanem először ki akarod csavarni magából azt a fogalmat, amivel össze akarsz hasonlítani, meg akarod erőszakolni, annyira, hogy már ne is maradjon önmaga többé, hanem valami teljesen más legyen, és utána akarsz összehasonlítani.
Ha korrekt összehasonlítást akarsz, akkor
1. a klasszikus, leíró axiomatikát meghagyod annak, ami, predikátumoknak és nem konstrukciós eljárásnak
2. felépíted amit akarsz és ahogy akarod, és utána összehasonlítod 1-gyel. Elvileg nincs akadálya, lehet hogy csinálták mások is már, pont erről kértem szakirodalmat.
3. ha az axiómákat konstrukciós szabályokként akarod olvasni és alkalmazni — felőlem tegyed, lehetne jól is csinálni — akkor sajnálattal közlöm, hogzy Peano 3-5-öt ki kell dobjad, mint ami a te által választott keretek közt nem értelmezhető.
Olyan szabályokat veszel fel pluszban, amilyeneket akarsz, de azoknak már közvetlen közük nem lesz Peano 3-5-höz. [Ezek az axiómák nem konstrukciós szabályok,hanem éppenhogy tilalmak, nem konstruálhatsz tovább olyan új szabállyal, ami az axiómák sérelméhez vezetne]. Amir[l te beszélsz az egész szalaggal, arra lehet hogy téged valamilyen módon Peano 5 ihletett, de az már nem Peano 5, hanem Hunor x azzal, hogy Hunor x-re Peano 5-ből kaptad az ihletet.
Lánczossal egy formális logikai vitában nem tudok mit kezdeni. Amíg formális logikai vita is fennáll, addig pedig nem vagyok hajlandó azon a szinten vitázni, mert nem mindegy, hogy az eredeti természetes számokról filozofálunk, vagy a kifordított, megerőszakolt változatról, aminek már tulajdonságaiban semmi köze az eredetihez.
Vedd észre, hogy azzal, hogy a klasszikus, másodrendű axiómával határozom meg a természetes számokat, épp Gauss oldalán állok. Te vagy vitában vele, amikor bármi egyebet be akarsz szuszakolni a természetes számok közé, ami az eredeti standard modellben nincs benne.
@dzsaszper
Írtad: „Mivel a formális nyelvek elmélete maga is a halmazelméleten alapul (más tárgyalásról nem tudok), ezért hajmeresztő és elfogadhatatlan számomra minden további nélkül megpróbálni a halmazelméletet a formális nyelvekre alapozni. Ha viszont csak a formális nyelvekből indulsz ki halmazelmélet nélkül, akkor első körben elfelejtheted a valós számokat és a számosságfogalmakat (mi megszámlálható, mi véges stb) és az egészet nulláról kezdve, a halmazelmélet segítsége nélkül kell felépítened. Ebben a témában kértem tőled, hogy nevezz meg szakirodalmat, és nem kaptam.”
E. Szabó László egy szóbeli megjegyzésére tudok itt hivatkozni. Hogyan kell a fizikát felépíteni természetes számok nélkül? Egyszerű. A Peano axiómákban a „szám” szót rendre helyettesítjük a „méter”, a „gramm”, a „másodperc” szavakkal. Innen a kérdésedre a válasz: vedd egy halmazelmélet konstrukciós, vagyis elsőrendű axiómáiból a célodhoz éppen szükségeseket. Cseréld le bennük a „halmaz” szót a kívánt szóra. Másodrendű axiómával itt is operálhatunk csak tartsuk szem előtt, hogy a szinteket ne keverjük. Mi ezen a hajmeresztő?
Ami pedig a számosságok vagy éppen a valós számok hiányát illeti, éppen ellentétes a helyzet. Sokkal részletgazdagabb a kifejezőerő H használatakor ráadásul H-n kívül semmilyen új fogalom bevezetését sem igényli, még a számosságát vagy az infinitezi Erre nézzünk pár példát.
Legyen egy D1 szabályos dobókockánk N+ elemivel címkézve, legyen egy másik D2, a páros természetes számokkal címkézve és egy harmadik D3 a P(N) elemeivel címkézve. Hagyományos értelemben P(D1 kockával 2-es dobtunk) = P(D2 kockával 2-est dobtunk) = 1/oo = 0. Már itt magyarázatra szorul, hogy miként lesz összesen 1 valószínűség lehetetlen események összességéből. P(D3 kockával a {2}-t dobtunk) pedig már egyenesen értelmezhetetlen. H használatával: P(D1=2) = 1/H. P(D2=2)=1/(H/2)=2/H P(D3={2})=1/2^H. Vagyis P(D1=2) /= P(D2=2) és P(D3={2}) is értelmezve van.
Vagyis míg a hagyományos eset az infinitezimális mennyiségeket nem tudja 0-tól megkülönböztetni, addig H használatával ez eleve adott. Ugyan ez igaz határértékek esetében is:
1,2,3,… → oo helyett azt mondhatjuk, hogy 1,2,3,… → H
Ugyanakkor 0,2,4,6,… → oo helyett ekkor azt mondjuk, hogy 2,4,6,… → 2H
2n/n (n → oo) = oo/oo helyett ezt mondjuk: 2n/n(n → H) → 2H/H = 2.
2^n/n (n → oo) = oo/oo helyett ezt mondjuk 2^n/n(n → H) → 2^H/H.
Nem okoz gondot a lépcsős példa sem, vagyis a végtelenbe vetített szemlélet sem fog ki rajta:
n*(1/n+1/n)(n → H) = H*2/H = 2. vagyis ha H lépcsőn van akkor is marad a 2 összesített hossz. (Míg hagyományos esetben oo*(1/oo + 1/oo) alakú ami akár gyök(2) is lehet, vagyis maga az átló. Miközben a lépcsők hossza egy konstans 2 sorozat.
H jól kezeli a következő esetet is, ami szintén a végtelenbe vetített szemléletre épít. Hova tart m/n ha m a páros pozitív egészeken fut végig, míg n minden egészen? Hagyományosan m → oo és n → oo tehát m/n → oo/oo. Ez talán 1? Ha lerajzoljuk a hányados egy konstans 2 sorozat. Ám oo használatával nem kezelhető, hogy a sorozataink elemszáma eltérő. Számosságuk azonos. H esetében m → H, akkor n → H/2 így m/n → H/(H/2) = 2. [Vagy n → H és m → 2H és az eredmény ugyanaz m/n → 2.]
Az egyszerűség abban rejlik, hogy a végesben érvényes képletekre egy az egyben át vesszük.
H használatára pedig az érvem roppan egyszerű. Aki elfogadja, hogy |N| := alef0, semmit sem szólhat |N+| := H ellen sem. S ez roppantul leegyszerűsít egy csomó dolgot. Ugyanakkor sokkal precízebbé is tesz. Íme:
|N| = |{0}| + |N+| = | + H = H|. // Lefordítva: H + 1
|N\{n}| = |N| – |{n}| = H| – | = H // ahol n egy természetes szám
|N+\{n}| = |N+| – |{n}| = H – | = |H // azaz H – 1, ahol n egy pozitív természetes szám
|Z| = |(||)*H // lefordítva: 2H+1
|{páros természetes számok}| = (H/||)| // lefordítva: (H/2) + 1, minden megszorítás nélkül feltesszük, hogy H páros.
|{páratlan természetes számok}| = (H/||) // lefordítva: H/2
|P(N+)| = (||)^(H) // lefordítva: 2^H
Ebben a felfogásban nincs párosítás még N és N+ között sem, mert elemszámuk eltérő. Ahol az elemszám a számfogalom egy egyszerű kiterjesztése, semmiféle új számosság aritmetika bevetetését nem igényli.
Irodalom? Nem tudom, de tartok tőle az ilyen részletgazdagságra lett is volna igény az H és H| antonímiája a gyökerénél elfojtotta. Így ezzel fogom folytatni.
@ dzsaszper
// A megjegyzés jele.
Legyenek:
s(0) := // üres (szimbólum).
s(i) := s(i-1)| // ahol i > 0
Az s sorozat elemei: ,|,||,|||,…
Legyenek továbbá:
S(0) := {s(0)} = {}
S(i) := S(i-1) U {s(i)} // ahol i > 0
Sz(0) := S(0)
Sz(i) := Sz(i-1) U(j:=0 → i-1){S(j} U s(i)} // ahol i > 0
Az S halmazsorozat halmazelemei: {},{|},{|,||},{|,||,|||},…
Az Sz részhalmaz sorozat elemei: {},{{},{|}},{{},{|},{||},{|,||}},{{},{|},{||},{|,||},{|||},{|,|||},{||,|||},{|,||,|||}},…
Avagy, legyen: // Wallis formula pi-re
p(0) := (sqrt(2)*(sqrt(2)) / ((sqrt(2)-1)(sqrt(2)+1)) = 2/1
p(i) := ((2i)(2i))/((2i-1)(2i+1)) * p(i-1) // i > 0
d(i) : = egy i oldalas 1-től i-ig feliratozott szabályos „dobókocka”. // i > 0, páros.
n(0) := m(0) := {}
n(i) := {n(i-1)} // i > 0
m(i) := {{},m(i-1)} // i > 0
Az n és m a természetes számok egy-egy lehetséges felépítése az üres halmazból.
Az n elemei: {}, {{}}, {{{}}},…
Az m elemei: {}, {{},{{}}}, {{},{{},{{}}}}, …
Gauss idáig ment el és nem tovább. Mivel s elemei alkotják standard N-t, így Gauss közös kiindulópontunk, egyikünk sem sajátíthatja ki. Tekintsük standardnak az, ami szerepel az iménti felsorolásokban, azaz van elsődleges előállítása. Mivel a fentiek az elsődleges vagyis megkonstruálható részei egy-egy dolognak.
Nem vagyok ellene a második szintre lépésnek, de ennek szigorú szabályaihoz ragaszkodom. A másodrendű mondat mindig egy ilyen elsőrendűen konstruálható sorozat összességét fogja meg. Az s esetén ez maga N, az S és Sz, n, m sorozatok esetén a sorozat tagjainak uniója, míg p sorozat esetén egy tetszőleges kör kerületének és átmérőjének az aránya az euklideszi síkon, vagyis maga pi. A d sorozat esetében pedig például egy ilyen másodrendű objektum egy olyan szabályos dobókocka, melynek éppen N+ elemei az egyes oldalain a feliratai.
Igen fontos megértenünk, hogy ne keverjük a szinteket. Második szinten nem hivatkozhatunk az első szintű rákövetkezésre. Első szinten pedig a teljességre nem lehet hivatkozni. Két külön világ. Ezt szigorúan észben kell tartani, s akkor a formális és a szavakba öntött leírás is egyaránt ellentmondásmentes lehet. Az első szint ugyanis arra való, hogy tegyük bele amit csak akarunk. A második szint meg arra, hogy kinyilvánítsuk, hogy pontosan az van benne, amit benne akartunk tudni.
Sajnos te H-t kívül látod, míg az utolsó elem nélküli részhalmazokat belül. Ám tévedsz. H := |N+| vagyis egy második szintű objektum maga is. Miért is?
|S(i)| = i // ahol i >= 0.
Ezek mind első szintű objektumok, elemszámnak is hívjuk őket. Ezek a ténylegesen azaz első szinten konstruálható véges dolgok. Hogyan lehet ezek összességét másodrendűen megfogni? Bevezetjük az |N+| := H másodrendű fogalmat. Ezzel a véges és megszámolható fogalmak másodrendű megfelelőit is megkapjuk. Ez örökli az első rendű véges minden jó tulajdonságát, így: |N+| := H = |S(H)|. Első rendű rákövetkezés után pedig hiába kiáltasz, mert arról már lekéstél, amikor N+ létét elfogadtad megkonstruáltnak vagy adott tulajdonságokkal eleve létezőnek nyilvánítottad és áttértél a második szintre. Persze N+ létét nem kötelező elfogadni, ám akkor semmilyen második szintű objektumra ne hivatkozz! Főleg ne hiányold a másik felfogásában.
H tehát belül van. Míg az utolsó elem nélküli részhalmazok kívül. Tehát az utóbbiak lennének beletuszkolások. Az ok egyszerű kevered az első és második szintet. Egy kis oda-vissza fordítással demonstrálom: Nincs legnagyobb páros természetes szám = Elsőrendűen minden előállított páros természetes számból elő tudunk nála nagyobbat állítani → Második szintre kell áttérni, hogy H-t használhassuk, mint a legnagyobb páros természetes szám megjelölése. Ebből adódik, hogy |H (azaz H-1) jelöli a legnagyobb páratlant, második szinten. Hogy gyakoroljuk fordítsuk le ezt visszafelé. → Azért kellett |H másodrendű fogalmat bevezetni, mert első szinten nem tudunk rá hivatkozni, mert minden hivatkozási kísérletünkből tudunk nála jobb hivatkozási kísérletet kreálni. → nincs legnagyobb elsőrendű hivatkozás a legnagyobb páratlan számra → pongyolán és röviden: nincs legnagyobb páratlan természetes szám. Ebből adódik az is, hogy H másodrendű megnevezése N legnagyobb elemének, így rá az elsőrendű rákövetkezés nem alkalmazható. H| már maga is másodrendű objektum. Persze ekkor szigorúan véve ahol a képzési szabályokban szerepel H, az már szintén második szint. Ám mivel nincs új aritmetika hozzá, így gondot nem okoz. H| levezetését pedig szigorúan megakadályozzuk.
Mondatod, hogy vannak részhalmazok melyeknek nincs utolsó eleme, de a fenti példákkal megmutattam, hogy ezt értelmezni tudom a saját rendszeremben. Sőt. Meg tudom különböztetni, hogy éppen mely halmaz nem létező utolsó eleméről beszélsz. Így például míg neked P(N) számosságára újabb számosságot kell bevezetned, mert N véges részhalmazainak összessége 2^oo = oo = alef0, de P(N) összes részhalmazáé már 2^alef0 > alef0, addig H használatával |N+| = H és |P(N^)|=2^H. Vagyis itt szóba sem jön a két halmaz párosítása, Ezt érdemes alaposan megrágni, mert itt lehet megérteni a megszámolhatóan végtelen és a megszámlálhatatlanul végtelen számosságok furcsa kapcsolatát. S azt se felejtsük, hogy P(N) már egy harmadik szintű objektum. Hiszen főleg második szintű objektumok összességéről beszél.
Ez főleg a P(D3={1,999}}=1/2^H esetében érdekes, vagyis mi az esélye annak, hogy egy P(N) elemeivel feliratozott dobókockán az {1,999} feliratú oldal jön ki? Fontos megjegyezni, hogy amikor ilyen kockáról beszélünk, akkor először is fel kell tennünk az adott szintű kocka létezését. S magát a dobást is az adott szinten kell értelmeznünk. Ez H esetében könnyű, mert az alsóbb szintekről egyszerűen öröklődik minden hasznos tulajdonság. A hagyományos esetben a kép ennél árnyaltabb. Ott harmadik szintű kocka esetleg még létezhet, de hogy dobni nem lehet vele az biztos, mivel nem tudunk a dobás eredményéhez valószínűséget rendelni. Második szintű kockák esetében pedig egységesen 1/oo az egyes oldalak esélye, ami 1/oo := 0 esetén maga is kérdéses. Az igazi feloldást Kolgomorov jelenti, amit H használatával megspórolhatunk. H használatakor ugyanis minden halmaz mérhető. Az már más kérdés, hogy hanyadik szintű objektummal.
N+ esetén H biztosítja az omega-teljességet is, így azt sem kell külön bevezetni. Ha jól használjuk H kiválthatja a végtelen minden hasznos, azaz mérhető esetét. A nem mérhetőt, meg mint a 0-val való osztás esetét kizárjuk. Így persze nem jutunk duplázható gömbhöz, de négyszögesíthető körhöz sem. Weierstass, Cauchy és társaik szigorúság forradalmát is úgy tekintem mint a oo és a 0-val való osztás kitiltását.
Gyakorlatban például az egésznek ott van például jelentősége, hogy a világegyetem egyáltalán lehet-e folytonos, vagy a téridő kvantáltsága eleve szükségszerű. Ennek a blog címére is van némi referenciája. Ha ugyanis a világ szükségszerűen kvantált, akkor mindenképpen fenntartót igényel. Ha csak nem hiszünk a rajzfilmben, ami önmaga következő filmkockáját statikus állapotában megrajzolja, s át is ugrik rá a kellő pillanatban, mindenféle időmérés nélkül. Érdemes ehhez Zénón paradoxonait is megvizsgálni első és második szintű objektumokat keresve bennük. Mert az egy dolog, hogy tudjuk, hogy az összeg véges, de kötve van a kezünk és mindig csak a maradék felét adhatjuk az addigi eredményhez. Hiába tudjuk az eredményt, így sosem kapjuk meg. Ha az órát is ehhez állítjuk, csak azt kapjuk, hogy az adott időegység sem telik el a számunkra soha. Ha viszont a téridő kvantált és az időt egy külső „órajel” adja, akkor órajelenként történik egy ugrás (A következő kvantumállapotba), a így véges lépésben utoléri Akhillész a teknőst.
@Hunor,
1. ami a számosságfogalmat illeti, nem H bevezetése vagy be nem vezetése szempontjából merült fel a kérdés. Hanem az axiómák (amelyek leíró jellegűek, mindent szabad ami nem vezet ellentmondásra) vs. levezetési szabályokkal való építkezés (csak azt szabad amire szabály van) témában.
[H-t nem kell magyaráznod, ismerem, de a természetes számok bővítésének tartom. Jól lehet vele dolgozni, erről egy csöpp kétségem nincs. Viszont, a jóldefiniált természetes számok halmazáz akkor is a standard modellel és a másodrendű Peano 5 axiómával lehet a legjobban és legegyszerűbben elérni, amit aztán utólag bővíthetünk H-val, ha épp ahhoz van kedvünk — és olykor jó okunk van rá, hogy legyen]
Szóval H mellékszál itt, és a hagyományos axiómák vs. levezetési szabályok témaköre a kérdés. Ha csak átnevezel, akkor továbbra is a halmazelméletre — értsd: leíró jellegű axiómákra — alapozod a levezetési szabályok keretrendszerét. És ez a fő bökkenő.
Ha viszont kidobod a leíró jellegű axiómákat, H ide vagy oda, vele együtt dobod ki a megszámlálhatóságot/nem megszámlálhatóságot is. A nem megszámlálható mennyiségű axiómaséma esetét viszont fontos lenne valahogy megkülönböztetned, de nem értem, a leíró jellegű axiómák visszacsempészése nélkül ezt hogyan tudod megtenni. Ha nem tudod megtenni, akkor viszont egy csomó tétel, amit ki akarsz mondani, és az egész összehasonlítás várhatóan összedől.
Tehát arra jutok, hogy a formális nyelvtanokhoz és axiómasémákhoz neked is szükséged van a halmazelméletre, egy jóldefiniált standard modellre mint viszonyítási alapjra amit bővíthetsz, és bizony Cantor munkásságára is. Te csak egy újabb szintet építesz rá, minderre alapozva — amivel nincs is semmi probléma, amíg nem akarod azt mondani, hogy neked mindezekre nincs szükséged.
@dzsaszper
Most csak egy kis kapcsolt háttérben meghúzódó gondolat:
A zsidó humor része, hogy egy rabbi így oktatja a tanítványait: Isten olyan hatalmas, hogy azt is megengedheti magának, hogy ne létezzen. A hegedűs a háztetőn című musicalben a rabbi igazságot tesz. El hangzik egy állítás, mire igaznak nyilvánítja. Majd a tagadása. Azt is. Erre valaki: Kettejüknek nem lehet egyszerre igaza! Mire a rabbi: Tudod mit, neked is igazad van.
A Biblia maga is két irányból mutatja be Istent. Leíróan és építően. A kettőt együtt kell szemlélni, s nem lehet őket keverni. Leíró módban akkor beszél a Biblia Istenről, amikor például Teljességnek nevezi (Kol1,15kk) vagy amikor arról beszél, hogy az egeknek egei sem fogadhatják be őt. Vagy amikor arról hogy időtlen… Ilyenkor nem mondhatjuk, hogy Isten nincs, mert ha lenne „bővíteni” lehetne, el lehetne nála hatalmasabbat képzelni.
Hasonló ez ahhoz, hogy létezik-e minden halmazok halmaza. Aki építően gondol rá és nem leíróan, az azt mondja, tegyük hozzá önmagát elemként. Nagyobbat kapunk. Vagy vegyük hatványhalmazát, vagyis részhalmazainak halmazát. Mindkét esetben építő esetben nagyobbat kapnánk nála. Ám leíró módban így gondolkodhatunk: A leíró mód az egészet fogta meg, ez már nem bővíthető. Tartalmaz minden halmazt, azaz minden részhalmazt is. Ezért mondom, hogy az elem mint alapfogalom választása zavaró lehet, jobb a halmaz mellé a része alapfogalmat választani. Ekkor se az önmaga hozzá vétele nem bővíti az egészet, sem önmaga részei nem bővítik.
Az egeknek egei érthető úgy, hogy mindenig véges világban fogunk élni, amit kiismerhetünk, de mindig jön egy gazdagabb egy bővebb, s e sornak sosem lesz vége, s Isten egyik formája maga e sornak a teljessége. Így aztán egeknek egei sem fogadhatják be, hanem ő maga fogadja be az egészet. Így aztán soha senki nem látta és nem is láthatja. Hozzáférhetetlen. Abszolút világosság. S nyilván nincs sok teteje ezt az egészet „továbbépíteni”. Helyén kell a leírást (analizálást) és az építést kezelni.
Az is benne van a kérdéskörben, hogy vajon mi korlátozza Istent. Valami biztosan, mert nem lehet valami egyszerre igaz is hamis is. Egy ország, mely önmagával meghasonlik, nem maradhat meg, ahogy maga Jézus tanította.
Cantor talán mondhatjuk, hogy túllépett az „építés” utánagondolásán. Talán amikor a matematikusok a végtelent „dicsőítik”, s a véges csak ennek árnyképének tartják, s az analitikus megközelítést veszik ma előre ugyanezt teszik. Próbálnak az egész felől közelíteni a részhez. Ez mindenképpen kilép abból az „istenképből”, amit időbeli, mechanikus fehérszakállú, dualista isten- és világképként lehetne jellemezni.
Amúgy az ID is megteszi ezt, amikor arra mutat rá, hogy vannak olyan szervek, élővilágbeli kapcsolatok, melyek kész egészként kellett, hogy előálljanak, nem alakulhattak ki építkezve. Kellett valaki, aki az egészet átlátva analizálta azt. A Biblia ehhez azt teszi, hozzá, hogy nem átlátásról van szó, hanem az egész egy tulajdonságáról. Az egész felől nézve Isten nem építkezik, hanem mint kész egész időtlenül létezik. Minden benne van, ami ellenmondás nélkül benne lehet, és semmi ami nem. Belőle nincs mit elvenni, hozzá nincs mit tenni. (Prédikátor könyve) Ez viszont a teremtést erősíti, mert ha Isten eleve „tartalmazza”, mondjuk az egyes állatok ismertét, akkor nincs szüksége, hogy kifejlessze azt. S talán a kettősnek tűnő teremtéstörténet egysége is megfogható így.
Az evolúció egy építkező elmélet, ott ahol rendelkezésre áll a teljesen kianalizált helyzet. Mintha ismernénk az optimális megoldást, mégis evolúciós algoritmussal vagy bármilyen nem polinomiális idejű heurisztikával kezdenénk keresni.
Egy szó mint száz, valóban az analitikus megközelítés az első, s főleg nem lehet ellene az építkezést azzal kijátszani, hogy az egészet akarjuk „bővíteni”, legyen az Isten, a minden halmazok halmaza, vagy éppen standard N. H-val én ilyen értelemben standard N-ről mint egészről igyekeztem beszélni. (A minden halmazok halmazának tagadása minden halmazok osztályához vezet…)
Szóval ez egy adalék volt a gondolkodásom hátteréhez, nem valami ellen fogalmaztam meg, de ha az eddig elhangzottakkal nem egyeztethető, akkor vitapontnak is tekinthető.
Kedves Hunor,
nem értem miért kellene a matematikai végtelen fogalmunkat Istennel azonosítani. Addig oké, hogy Istent véges modellel nem lehet leírni, de a oo sem akarja jobban Istent leírni mint H. Egyszerűen egyáltalán nem ez a célja…
@dzsaszper
Cél? Ha nem Isten gondolatait gondolja utána a matematikus, akkor bizony a cél mint olyan könnyen elveszhet. Jól mutatja ez a modern matematika önmeghatározási nehézsége, ahogy Reuben Hersch fogalmazott: A matematika az, amit a matematikusok művelnek. Amikor elveszik Isten mint egyetlen szilárd vonatkoztatási pont, akkor ilyen önmeghatározásokig jut az emberi bölcsesség. Egy önmeghatározás viszont csak öncélú lehet. Ahány matematikus annyi öncél. A saját dicsőség. Mivel Isten az igehirdetés bolondsága által ad kegyelmet annak akinek akar, a legbölcsebb matematikus sem képes őt megérteni saját kútfejéből. A modern matematikai gondolkodás minden segítséget megad az Istentől való elszakadásra. Például amikor Istent és a matematikát megpróbálja két külön lapra tenni. Mégis ők is megállnak Isten előtt, s nem igen tudják majd megindokolnia azt az egyszerű állításukat sem, hogy miért tagadják például minden halmazok halmazának létét.
Ám most inkább nézzük az egyik kedvenc témádat, a megszámolhatatlanságot. A modern matematika megszámolhatatlan halmazok létét állítja. Ehhez szolgáltat is egy bizonyításnak semmiképpen sem nevezhető gondolatmenetet. Indirekt tegyük fel, hogy N részhalmazai megszámolhatóak, s legyen T egy ilyen megszámlálás. Legyen x D-ben, pontosan akkor, ha x természetes szám és T x. tagja nem tartalmazza x-et. Ekkor D egy olyan részhalmaz, ami nem lehet a felsorolásban, mert bármely sortól valahol eltér, nevesen az x. sortól az x szerepeltetésében.
Kitérő: Mi történik, ha egy világban a fékezhetetlen ágyúgolyó a rendíthetetlen falnak ütközik? A helyes válasz az, hogy ilyen világ lehetetlen. Együtt nem, de külön lehetségesek. Ám egyiknek sincs kitüntetett szerepe, amiért azt mondhatnák egyik léte jogosultabb a másiknál.
Nos most térjünk vissza a megszámolhatatlanság iménti naiv gondolatmenetére. A kíváncsi olvasó olvasgathat előtte Hilbert Hotel Infinity-ről a neten, angolul is, magyarul is, a megértéshez. Vajon D bizonyítja-e hogy P(N) nem felsorolható? Nem. Vegyük ugyanis N egy véletlenszerű n elemét. (A véletlenszerűség biztosítja, hogy ne lehessen a folyamatot kiismerni és más módon ellenpéldát kreálni.) T minden n feletti sorszámát helyettesítsük a rákövetkezőjével. D kapja meg az n sorszámot. Íme D-t beépítettük a felsorolásba anélkül, hogy egy benn levőt is ki kellett volna tenni. Persze erre az új T-re van új D, de azzal ez a folyamat megismételhető. P(N) felsorolhatatlanságát csak az bizonyítaná, ha lenne egy D, ami minden felsoroláson kívül esik. Ám ez egyben megkérdőjelezné részhalmaz voltát is. Hiszen csak olyan részhalmaz lehetne, amire nem lehet hivatkozni, mert különben az iménti módon bármely T-t lehetne vele bővíteni.
Abból, hogy bármely konkrét természetes számnál van nagyobb természetes szám, nem következik, hogy létezne olyan amelyik nagyobb mindnél, vagyis még önmagánál is. Hasonlóan abból, hogy bármely konkrét T-re van D, nem jelenti azt, hogy lenne olyan D. ami T összességére is cáfoló hatással bírna.
Az egyenjogúság itt is érvényes. Hihetünk egy ilyen D létezésében. Ám gondoljuk meg a következményeit! Szerintem a világ e hit nélkül egyszerűbben felfogható, anélkül, hogy bármit vesztenénk.
Az ilyen D-ben való hit csak félreértésekre jó. Például arra, hogy az ember elmélázzon azon, hogy a világmindenség végtelenjében kontinuum számosságú világok pattannak ki, kipróbálva minden lehetséges paraméterezést, vagyis a mienket is. Ezzel oldva meg a kérdést, hogy miért is ennyire finomhangolt ez a világ.
Avagy: Ha Istenben megszámolható világ van, akkor ezek sorba rendezhetők. Beszélhetünk jelenvaló és elkövetkezendő világokról ahogy a Biblia teszi is.. Elmondhatjuk, hogy egy világban sem lehet Isten teljesen kiismerni, de minden újabb világban egyre részletgazdagabb ismeretet szerezhetünk róla. Értelmes arról beszélni , hogy ismeretünk gyarapszik, nagyobb lesz. Gödel első tétele itt fogható meg igazán. Egy adott világban az igazságoknak mindig csak egy elenyésző része bizonyítható, ismerhető meg, de az hiánytalanul, hogy azután egy ezt tartalmazó világban még mélyebb ismeretre juthassunk. Az már egy más kérdés, hogy az egyik világ miként tágul bele a következőbe, hirtelen vagy fokozatosan. A lényeg, hogy a folyamat vég nélküli, de benne minden megszámolható.
Ellenben egy olyan rendszerben, ahol a világok megszámolhatatlanok nem beszélhetünk rendezésről, így nagyobb ismeretről sem. Legfeljebb arról hogy az adott megszámolható ketrecen belül van nagyobb és kisebb, de mi ez a nagy megszámolhatatlan egészhez.
A megszámolhatatlanság azzal is együtt jár, hogy az igazság relativizálódik. Nem létezhet benne standard. Nem létezhet benne abszolút igazság. A modern matematikában úgy van beállítva, hogy a standard létezik, s benne a kontinuum hipotézis nincs eldöntve. Valójában azonban ahogy az imént láttuk már D léte is független választás kérdése. Hihetem, hogy létezik, olyan T, amelyik P(N)-t teljesen felsorolja, s akkor a kontinuum hipotézis sem jön mér elő. Igen, de ha hiszem, hogy P(N) felsorolható, akkor azonosíthatom a véges részhalmazokkal, ám ha csak véges részhalmazok vannak, akkor bevezethetem H-t. Vagyis oo és H megint csak egy független választás kérdése. Ha H-t választjuk akkor az igazság nem fog relativizálódni, se a matematikai sem az egyéb.
Ha Gödelt a megszámolhatón belül értelmezzük minden rendben. Mindig lesznek kívül eső igazságok, melyek csak egy bővebb rendszerben tárulnak fel. Ám ha a megszámlálhatatlan is bevonjuk, akkor kell lennie összeegyeztethetetlen részeinek. Ám P(N) mely részei lennének egymással összeegyeztethetetlenek? Mert mik is N tulajdonságai? N egyes részhalmazai. S miért is ne lehetne ezeket együtt szemlélni? Egy esetben. Ha értelmezéstől függ egyes részhalmazok léte. Standard N esetén viszont ilyen eset lehetetlen, mert ekkor a részhalmazok is standardok. Egyértelmű a létük. D viszont ami minden T felett áll – már hit kérdése. Ha hisszük, hogy ilyen D kiválasztható, akkor szabad az út a nemstandard felé. De csak akkor. Minden következményével.
@dzsaszper
Valóban ismerjük Gödel nemteljességi tételeit?
Raymond Smullyan: Gödel nemteljességi tételei 136 oldalán olvashatjuk: ‘A Gödel-Tarski-tétel egy analogonja. A kedves Olvasót egy különleges világba, a lovagok és a lókötők szigetére invitáljuk. A sziget minden lakosa vagy lovag, vagy lókötő; a lovagok kizárólag igaz, a lókötők kizárólag hamis kijelentéseket tesznek. A sziget egyetlen lakója sem állíthatja ennélfogva, hogy nem lovag: egy lovag szájából ez hamis, lókötő szájából viszont igaz kijelentés lenne.
Erre a szigetre érkezik meg egy logikus, s hamarosan találkozik is egy szigetlakóval. A logikusról tudjuk, hogy soha nem hisz el egyetlen hamis kijelentést sem – a szigetlakó pedig éppen emiatt képes olyan kijelentést tenni, amelynek „hatása” az lesz, hogy a logikus sohasem fogja elhinni sem azt, hogy az illető lovag, sem azt, hogy lókötő.
1. Feladat: Mondjunk ilyen kijelentést!
Megoldás. Megfelel például a következő: „Soha nem fogod elhinni, hogy lovag vagyok.” Ha ezt egy lókötő mondja, akkor kijelentése hamis, az azonban azt jelentené, hogy a logikus előbb vagy utóbb el fog hinni egy hamis állítást. Ez azonban lehetetlen, a szigetlakó tehát lovag. Amit állít ennél fogva igaz: a logikus sohasem fogja elhinni, hogy lovag. Ettől persze még lovag marad, s logikusunk – amennyiben következetes – nem gondolhatja róla, hogy lókötő. Tehát valóban: sem azt nem fogja elhinni, hogy lovaggal találkozott, se azt, hogy lókötővel.’
Elemezzük ezt keresztyén szemmel, bármennyire is furcsának tűnhet már a felvetés is. Mit mondhatunk el egy olyan konzisztens világról, ahol a feltételek mellett ez a mondat elhangozhat? Elsőnek is azt, hogy a logikusnak nincs szabad akarata arra, hogy elhiggye azt, amiről tudja, hogy igaz. (Meggondolható párhuzam: hiába tudja a bűnös ember hogy mit tett érte Jézus, nincs szabadságában ezt elfogadni, a hitet ajándékba kaphatja hozzá.).
A második észrevételünk az, hogy a logikus mindig tudja, hogy egy adott állítást lovag vagy lókötő mondta-e neki. Ha például egy szigetlakó ezt mondja neki: A logikus nem hiszi el, hogy ő logikus. Akkor a következők egyikét fogja tenni:
Ha a mondatot lovag mondta, akkor a logikus valóban nem hiszi el magáról, hogy logikus. Nincs rá szabad akarata. Ha megtenné, akkor meghazudtolna egy lovagot. Így aztán, ha a mondatot lovag mondta, a logikus tisztelettudóan tudja, hogy logikus, de nem hiszi.
Ha a mondatot lókötő mondta, akkor a logikus egyszerűen elhiszi, hogy ő logikus. Amivel a lókötő által mondott mondat hamis lesz, ahogy annak lennie is kell, hiszen a lókötő minden állítása hazugság.
Harmadik észrevétel: Az iménti mondatot tehát mondhatta lovag is és lókötő is, de egy a feltételeknek megfelelő, konzisztens világban mindig csak az egyik! Egyébként a logikus egyszerre hinné is meg nem is, hogy ő logikus.
Negyedik észrevétel: Vannak tehát állítások melyeket lovag és lókötő egyaránt mondhat. E mondatok egymástól teljesen függetlenek, így minden ilyen mondat megduplázza a lehetséges világok számát. Ha lovag mondja az adott állítást, a logikus hite meg fog felelni az állításnak, ha lókötő mondta, akkor pedig a logikus hite éppen az állítás tagadása szerint alakul. Legyen három állításunk:
a. A logikus nem hiszi el, hogy a lovag lovag.
b. A logikus nem hiszi el, hogy a lókötő lókötő.
c. A logikus nem hiszi el, hogy ő logikus.
Könnyen megállapíthatjuk, hogy mindhárom mondatot mondhatta lovag is, lókötő is, de egy adott világban minden egyes mondatot csak vagy lovag vagy csak lókötő mondhatta. Nyolc lehetőségünk van. Vegyünk egyet. Tegyük fel, hogy elhangzott három szigetlakó a három mondat és erre logikus nem hiszi el, hogy ő logikus, de elhiszi hogy a lovagok lovagok és a lókötő lókötők. Melyik esetet választottuk? A fentiek alapján egyértelmű. Az a és b mondatot lókötő mondta, így a logikus elhiszi, hogy a lovagok lovagok, a lókötők lókötők, így az a és b mondat hamis lesz, ami helyes, mivel lókötő mondta. Azt viszont nem hiszi el, hogy ő logikus, mert a c mondatot lovag mondta, így nem szabad neki elhinnie, hogy ő logikus, mert meghazudtolna egy lovagot.
Ötödik megjegyzés. Érdemes meggondolnunk azt, hogy alapfeltevéssé tesszük, hogy az igaz mondatot a logikus el is hiszi. Ekkor az eldönthetetlen mondatokat egyszerűen már senki sem mondhatja, sem lovag, sem lókötő. Fontos megjegyezni, hogy az ilyen világok száma pontosan 1. Szemben azzal a (megszámlálhatatlanul) végtelen világgal, mellyel akkor kell szembe néznünk, ha lehet olyan igazság, amit nem hihetünk el.
Kedves Hunor,
korábbi megjegyzésedhez
aközött hatalmas különbség van, hogy a matematikus (ateista matematikus esetében akár tudtán kívül is) Isten egyes gondolatait gondolja újra, és aközött, hogy egyes matematikai fogalmakkal Istent is le akarná írni.
Az előbbivel semmi gondom, az utóbbi a filozófia értelmében kategória-hiba lenne. A matematikának, beleértve oo-t és H-t is, nem célja Isten leírása.
Amikor Istenben lévő univerzumokról beszélsz, már rég kívül jársz a matematika hatáskörén.
Ami pedig a valós számok halmazának megszámlálhatlanságát illeti, kevered a természetes számokat, meg az akármilyen számrendszer szerint képzett „n-edes” tört sorozatokat. Így aztán nem is cáfolod a tételt, hanem valami egész mást, amit tudtommal nem is állított soha senki…
Amíg formális matematikai vita van köztünk, eleresztem az analógiákat a fülem mellett. Mintha formális matematikai érvek elől kibújni szeretnél az analógiákkal? Vagy mintha azzal érvelnél, hogy Isten nem lehet olyan, mint amit a matematika (valami egész másról és nem Istenről) állít.
@dzsaszper
Eszem ágában sincs a formalizmus alól kibújni, ám jó megismerni a hátterét. Kezdjük egy antinómiával. Dr. Szendrey János: Algebra és Számelmélet című tankönyvében, illetve kicsivel korábban Ruzsa Imre: A matematika néhány filozófiai problémájáról című tankönyvében olvasható, s mindkettőben Richards-féle antinómiának nevezik. Véges jelkészletet használva, rendeljük minden legfeljebb 120 jelből álló olyan magyar mondathoz és csak azokhoz, amelyik egyértelműen meghatároznak egy természetes számot, ezt a természetes számot. A többi mondat nem játszik. Az ilyen mondatok a természetes számok véges részét fedik le, tehát van legkisebb k természetes szám, amit ezen mondatok egyikéhez sem rendeltük hozzá. Azonban: k: ‘Magyar nyelven a (szóközt beleértve) legkisebb legfeljebb 120 írásjellel egyértelműen nem definiálható természetes szám.’ Ez a mondat éppen 120 jelből áll, vagyis k mégis csak definiálható 120 hosszon.
Ez a példa két tévútra is elviszi azt, aki nem elég figyelmes. Az egyik tévút az, hogy az ilyen példát antinómiának (feloldhatatlan ellentmondás) nevezik, pedig csak paradoxon (csupán vélt ellentmondás). A másik, hogy formális bizonyításban használják, ezzel a formalizmus értelmét megkérdőjelezve.
Amikor az ember a tanulás során eljut ehhez a kérdéskörhöz, egyszerűen eszébe sem jut feltenni a kérdést, hogy ez valóban antinómia? Hívőként kezdtem azon gondolkodni, hogy a matematikusok miért nem lesznek keresztyén hívők, ha mindkettő az elme teljes odafigyelését követeli meg. A matematikusoknak is valahol el kell tévedniük. Ahogy ezt a háttérben forgattam a fejemben egyszer csak tudatosult, hogy szó sincs itt antinómiáról, csak paradoxonról. A matematika törekszik a pontosságra, de a Biblia értelmezése túl tesz rajta. Az utóbbi esetben tényleg minden egyes szóalaknak jelentősége van.
Olvassuk el minél többször a felvetést. Azzal a tudattal, hogy csak paradoxon. Vajon megtaláljuk-e így a feloldást? Szerintem még így is csak nehezen.
A kulcs: EGYÉRTELMŰEN. A matematikai definíciók tele vannak ezzel a szóval, mégsem figyelünk rá elégé. Csak azok a mondatokhoz rendelünk természetes számot, melyek EGYÉRTELMŰEN meghatározzák azt. Márpedig a megadott mondat nem határozza meg k-t egyértelműen, ha ugyanis k-t hozzárendeljük, akkor már egy másik k1 számot fog jelenteni, a következő legkisebbet, de akkor meg k marad hoppon, így mégiscsak k-t jelenti. Vagyis az adott mondatra két szám k és k1 pályázik, így nem határoz meg egyértelműen természetes számot, vagyis az adott mondathoz nem rendelünk természetes számot, így szó sincs ellentmondásról.
Viszont ha már tudjuk, hogy ez a feloldás, akkor ezt tudásunkat máshol is kamatoztathatjuk. Immár teljesen formális rendszeren belül. C. H. Papadimitrou: Számítási bonyolultság tankönyvéből tanultam Gödel nemteljességi tételeit. A tételek Turing megállási problémájából kiindulva kerültek tárgyalásra. (A közérthetőség kedvéért Turing-gépe helyett más szót használok.) Ez utóbbi arról szól, hogy van-e olyan algoritmus, mely véges lépésben bármelyik programról el tudja dönteni, hogy megáll-e ha egy adott bemenetet kapja. Mivel mind a program, mind a bemenetet számokkal kódolható, így elég azt vizsgálni, hogy eldönthető-e, hogy egy algoritmus megáll-e ha saját magát kapja bemenetül. Indirekt tegyük fel, hogy létezik ilyen U algoritmus, mely (program, program) párokat kapva bemenetül eldönti a megállási kérdést. Legyen D a következő program: Ha U(program,program) megáll, akkor D(program, program) ne álljon meg. Ha U(program,program) nem áll meg, D(program,program) álljon meg. Mi történik D(D,D) esetében? Ha D megáll önmagát kapva bemenetül, akkor D nem állhat meg, ha nem áll meg, akkor meg kell állnia. Ellentmondás. Nincs tehát a megállást eldöntő algoritmus/program. D koronatanú. Amikor az ember ezt megtanulja, leveszi a kalapját, hogy ez mennyire elegáns, szép, egyszerűségében is briliáns bizonyítás. Mély nyomot hagy benne. Örömmel alkalmazza máshol is. Igyekszik keresni a D koronatanúkat.
Ám felvértezve a Richards-paradoxon fenti feloldásával, egyszer ezt a bizonyítást is át kellett, hogy értékeljem. S a tankönyvben a tétel előtti oldalakra lapozva meg is találtam az EGYÉRTELMŰSÉG kritériumát. Akkor és csak akkor beszélhetünk Turing gépről (program, algoritmus), ha az tetszőleges bemenetre EGYÉRTELMŰ választ ad. Márpedig D nem ilyen, a (D,D) bemenetre nézve. Magyarán D nem Turing-gép! Nem hogy nem koronatanú, de hamis tanú. Márpedig a tankönyv azután erre építi például Gödel nemteljességi tételeinek a bizonyítását is. Mit ér a formalizmus, ha hamis tanúk előtt hajlong?
Innentől kezdve nekem teljesen mindegy, hogy valaki szavakkal fejezi ki magát, vagy formálisan, ha az iménti hamis tanús módszert alkalmazza koronatanúként. Önmagát becsaphatja, de engem már nem, s remélem a hívő keresztyéneket sem. Istennél nincsenek eldönthetetlen problémák.
Krétai antinómia: „Ez a mondat hazugság.”
A wikipédia szerint ez a mondat vezetett például az értékréses logika feltalálásához. Koronatanúként szerepel, hogy lám van olyan mondat, amelynek a logikai értéke az értékrés. Ám ez megint csak hamis tanú. E mondatnak ugyanis nincs logikai értéke. Vagyis hamis tanú. Mely mely állításoknak is van logikai értéke? Amelyekhez EGYÉRTELMŰEN hozzárendelhető a két logikai igazságérték (IGAZ, HAMIS) pontosan egyike. Ehhez a mondatra pedig ez nem áll, így ez csupán krétai paradoxon. Hívő keresztyénként nevetségesnek tekintem eldönthetetlen kérdést kreálni belőle. Egyszerűen nincs logikai igazság értéke és pont. Nem játszik a logikai keretein belül. Ennyi. Pont.
Gödel első nem teljességi tételét ugyanilyen hamis tanú koronatanúként való szerepeltetése jellemzi. Hiába mondod, hogy jól ismered a tételt, ha ez a szarvas hiba eddig nem tűnt fel.
G. G nem bizonyítható (és nem is cáfolható) ebben a rendszerben.
Magyarán a G Gödel számú mondat azt állítja magáról, hogy eldönthetetlen. Ám ez csak annyit jelent, hogy nem fejez ki számelméleti állítást. Se igazat, se hamisat. Ahelyett, hogy eldönthetetlen problémaként ünnepelnénk egyszerűen észre kell venni, hogy nincs EGYÉRTELMŰ logikai igazság értéke, s el kell vetni. Játszanak vele a hitetlenek, ha annyira akarják tagadni az abszolút igazságot. Istennél nincsenek eldönthetetlen problémák.
A Biblia és az igazi matematika alapfogalma az EGYÉRTELMŰSÉG. Ha tiszteletben tartjuk nem fogunk eltévedni. Ha nem figyelünk rá, formalizálásunk is hiába való önbecsapás lesz.
Még egy példát megismétlek. A halmaz fogalom is EGYÉRTELMŰSÉGET hirdet. Ám a halmaz és eleme alapfogalmak Minden Halmazok Halmaza antinómiájához vezet. Ám ha halmazt és részét választjuk alapfogalomnak, akkor paradoxonná szelídül. Azaz az EGYÉRTELMŰSÉGHEZ fontos az alapfogalmak helyes megválasztása is. Ha a halmaz és része az alapfogalom, akkor minden halmazok halmaza önmagaként lesz önmaga (nem valódi) része, így léte emiatt nem okoz ellentmondást. (Míg elemként egyszerre lenne önmaga valódi és nem valódi része, ami antinómia.)
Ami pedig a megszámolhatatlanságot illeti, érdemes meggondolni, hogy hasonlóan egy D (diagonális, vagyis átló) elemre épül a léte vagy nem léte. Erről Geier János matematikus alapos formális leírását ajánlom figyelmedbe. http://geier.hu/Cantor/Cantor_rovid.pdf http://geier.hu/Ruzsakonf2009/Ruzsakonf.htm
@dzsaszper
Teljesítem a kérést, hogy a halmazokra vezessem vissza a gondolataimat.
A modern matematika jelentősen leegyszerűsíthető, úgy, hogy ha a halmazt és részét/részhalmazt vesszük alapfogalomnak, s az elemet úgy definiáljuk, hogy olyan rész, melynek nincs valódi része. Ekkor a minden halmazok halmazára úgy gondolunk, mint amiben minden benne van, ami egy halmazban csak szerepelhet. Ezután elképzelünk egy olyan struktúrát, mely minden halmazok halmaza minden részéhez 1-et rendel. Ez az ő karakterisztikus megadása. Amikor egy kisebb halmazt adunk meg, például a természetes számok halmazát, akkor annyit teszünk, hogy az iménti 1-eseket 0-val helyettesítjük minden olyan rész esetében, melyek nem egyetlen természetes számot tartalmaznak.
A karakterisztikus megadásra azért van szükség, hogy az elem fogalmára épülő definíciókat ne kelljen elbonyolítani. Például: unió, metszet, különbség. Vagyis az elem helyett a rész alapfogalommá tétele ne bonyolítsa el a matematikánkat. Unió: ahol bárhol 1 van. Metszet: ahol mindkét esetben 1 van, Különbség: ahol csak a kivonandó 0.
A hagyományos megfogalmazásban két halmaz akkor és csak akkor egyenlő ha azonosak az elemei. Ezt kétféleképpen is lecserélhetjük: azonosak a részei; azonos a karakterisztikus leírásuk. Az előbbi mellett az szól, hogy ha már a részt választottuk alapfogalomnak, akkor ahol lehet csak rá építkezzünk.
A karakterisztikus megadás fontos területe a részhalmaz képzés esetén van. Például {1,2,3} egyszerre jelentheti {1}, {2}, {3} természetes számok unióját, s ekkor nem elem, de ugyanakkor P(N) egy elemét is. Az előbbi esetben a karakterisztikus társa a 0, az utóbbiban pedig az 1. Ebből azt is észrevehettük, hogy a természetes számok maguk is halmazok. Melyeknek önmaguk a nem valódi részei. Minden ilyen halmaz karakterisztikus megadása egyetlen 1-est tartalmaz. A zárójelek elhagyhatósága a kétértelműség kerülése mellett megállapodás kérdése.
A halmazok ilyen szemlélete a Russell-antinómiát és a rendes halmazokra való kiterjesztését is feloldja, ám még mindig ott van a megszámlálhatóság kérdése. Ha igaz az, hogy bármely halmaznál van nagyobb számosságú halmaz, akkor a fentiekre a sok hűhó semmiért jelzőt illethetjük. Akkor minden halmazok halmaza továbbra is dőreség lenne. Hiszen lenne olyan halmaz melynek a számossága nagyobb lenne minden halmazok halmaza számosságánál, ami antinómia lenne továbbra is.
Mi azt az utat választjuk, hogy nem fogadjuk el, hogy egy halmaz párba állítható saját valódi részhalmazával. Formálisan ezt úgy írhatjuk elő, hogy ha két halmaz között van olyan párosítás melyben csak az egyik félnek szerepel minden eleme, akkor a két halmaz számossága nem egyezik.
Mivel itt a párosítást egyetlen elem eltérése meghiúsítja, így itt maradhatunk az elemszám fogalmánál. Tetszőleges H halmaz elemszámát pedig egyszerűen így jelöljük: |H|. Magyarul minden halmazok halmazát S-sel jelölve, elemszáma: |S|. Ez azért kiterjesztése az elemszám fogalomnak, mert |S| > n, ahol n tetszőleges természetes szám. Világos, hogy ekkor H := |N\{0}| = |N+|.
Cantor a oo-t választotta, s vele a valódi részhalmazzal való párosíthatóságot, ami a számosság fogalom elkerülhetetlen bevezetésével járt, majd a végtelen számosságokat is megkülönböztette nevezetes tételével. Aminek a végén a minden halmazok halmaza megint csak ellehetetlenült.
Az általunk választott út előnyének az tűnik, hogy Cantorhoz hasonlóan túllép az elaprózódó matematikán, de vele ellentétben nem hoz be új fogalmakat, mint számosság, vagy osztály, hanem a megszokott fogalmakat terjeszti ki.
Mi köze ennek Istenhez? Sok. Két szemlélet ütközik itt. Megfogható-e az egész, vagyis mondhatjuk-e, hogy valami már nem bővíthető, mert pont attól egész, hogy mindent tartalmaz. Az osztály fogalom bevezetése, mint minden halmazok osztálya azt az álláspontot tartja, hogy a halmaz fogalom összessége nem fogható meg. Ahogy persze minden osztályok osztálya sem létezik. S így a sort lehetne vég nélkül folytatni. Istenről a Biblia azt írja minden őbenne áll fenn. Vagyis úgy beszél róla a Biblia, mint ami bővíthetetlen egész, teljesség. A minden halmazok halmaza itt vázolt felfogása ugyanezt vallja, s e halmaz nem más, mint minden ami Istenben fennáll, akármilyen formában. Az anyag sem több matematikai struktúránál.
Gyakori felvetés, hogy jó, de mi lesz például az irracionális számokkal? A fizikai képletek tele vannak velük, nélkülük megáll az élet. Ruzsa Imre is hivatkozik erre, például A matematika néhány filozófiai problémája című könyvében. Nos igazából ez a veszély sem fenyeget. Csupán e, gyök(2), pi alatt immár nem egy végtelen törtet értünk, hanem egy-egy vég nélküli közelítési sort, melyből kellő helyen a kellő pontosságút használjuk fel, a feladat követelményeinek megfelelően. Megint csak megőrizhetünk minden fontos részletet az addigi eredményekből.
S ezt amennyire átlátom általánosnak vélem. Cantor matematikájából minden értékes, valóban hasznos rész megőrződik.
A számosság esetében, míg Cantor szerint S-nek nincs számossága,hiszen maga sem létezik, addig mi egyszerűen |S|-ként formalizáljuk.
Minimum alapötletnek kiváló, hogy a halmaz eleme alapfogalmat halmaz része alapfogalomra cserélve feloldottunk számos antinómiát, majd a számosságot elemszámmal helyettesítve a számosság antinómiát is kiiktattuk. Aki ezek után nem keveri a kér megközelítést, vagyis nem hivatkozik megszámlálhatóságra az új megközelítésben, az kezdheti megérteni, hogy miben is áll az új megközelítés ereje. Kevesebb fogalom, ugyanolyan kifejező erő.
Ezzel azt a kérést is teljesítettem, hogy a halmaz fogalomra vezessem vissza a gondolataimat.
S motivációm nem matematikai volt, hanem inkább bibliai. Isten mint egész kontra halmazok, mint amik összessége antinómia. Két kiút van: válasszuk le a kettőt egymástól: Isten erre, matematika arra. A másik, hogy olyan matematikát keresünk, ahol a halmazok összessége éppen úgy tekinthető, mint Isten teljessége.
A teremtőbe vetett hitem az utóbbi mellé állított, s eddig nem csalódtam benne. Empirikus tapasztalatunk pedig egyikről sem lesz, így érdemes azt választanai, melyet Occam borotvája is támogat. Kevesem fogalom, legalább ugyanolyan kifejező erő.
Kedves Hunor,
egy ilyen hosszas vita után nem tartom korrektnek előállni azzal, hogy te telesen mást értesz a közismert alapfogalmakon, pl. halmaz és számossgág. Az ilyet illik jó előre a vita legelején rögzíteni. Épp az egyértelműség kedvéért.
Több komoly problémát is látok azzal, ami szerinted alapötletnek kiváló. Ha egy nagy minden részthalmazt tartalmazó halmazból indulunk ki, akkor én már azt nem értem, hogy jutottunk el a természetes számokig a nagy halmaz lebontásával?
Ami a te számosságfogalmadat illeti, az az identitás leképezés, a számosságot magával a halmazzal azonosítod. Innentől |A| nem szám, hanem halmaz, és ha valahogy sikerült eljutni a természetes számokig, akkor |{1}| nem fog megyezni |{2}|-vel.
És ez még a kisebbik baj. Nagyon nagy áron tudod elejét venni annak, hogy a Cantor-i értelemben vett számosságot ne definiálja valaki a rendszeredben és ha már vannak természetes számaid, a klasszikus módon fel ne építse a klasszikus számosságokat. A nagyon nagy ár a nyelv lebutítása (mint az 1984-ben).
Nagyon nagyon nem látom a legalább ugyanolyan kifejező erőt, amit többször említesz, anélkül hogy kisérletet tennél a bizonyítására.
Ami a Turing gépeknél a hamis tanút illeti, determinisztikus Turing-gép fogalom mellett igazad van. De egy ilyen találat nem vihető át automatikusan másra, például Gödel első nem-teljességi tételére sem. Újra kell vizsgálni minden egyes új környezetben, hogy megáll-e a kritika. Egyedül D-vel mint determinisztikus Turing-géppel van a probléma, és kisérletet sem teszel arra, hogy a tobbi szerinted hamis tanúról megmutasd, hogy valóban gond van vele.
Ennyit a dolog matematikai oldaláról, és ezzel a résszel — belátom — nincs értelme többet foglalkoznm.
Szerintem óriási hibát követsz el már ott, amikor a matematikát Isten vizsgálatára akarod használni és pláne amikor ezt minden más matematikustól el akarod várni. Ne csodálkozz, ha ezzel kapcsolatban másoknak kevesebb türelme lesz, mint nekem volt.
Kedves dzsaszper!
Kicsit besokalltam, pihentettem a témát, de tartozom ezzel a válasszal (is).
A természetes számok halmaza egyszerűen a ‘nagy halmaz’ része, nem annak lebontásával kapjuk.
{1} {2}, de |{1}|| = |{2}| = 1. {1} az 1 számot tartalmazó halmaz, míg 1 egy szám.
A számosságok definiálhatók, de minek ha egyszer amit javasolok, ott minden egyes elem jelenléte számít. A minden halmazok halmazok halmazához hozzárendelek egy jelet mondjuk M, az elemszámát meg |M| jelöli. Ha ebből akár egy almát, akár egy természetes számot akár egy hidat, akár egy gondolatot elhagyunk máris |M|-1 elemű lesz. Egyszerűen nem engedünk meg valódi részhalmazzal való párosítást. |N\{0}|: = H bevezetése egyszerűen okafogyottá teszi a a számosságok bevezetését, de aki akarja vezesse be. Pl: |N\{0,1}| = H -1 mutatja, hogy H használatával már egyetlen elem eltérés kimutatható, hol van ehhez az alef0 számosság, milyen eltérést tudsz vele kimutatni?
A nyelv lebutítása éppen az hogy nincs külön „szavad” a N, N+, {0,2,4,…}, {1,3,5,7,…} és így tovább halmazok elemszámaira. H használatával éppen ezzel „gazdagodik” a nyelv, megkülönböztethetővé válik az ami megkülönböztethető.
Örülök, hogy a Turing-gépnél te is látod a problémát. Pontosan az ilyen dolgok adnak némi támogatást, ösztönzést. Ha egy ponton zörög a haraszt akkor máshol is gond lehet. A Papadimitriou tankönyv ebből vezeti le Gödelt, így az erra is kihat, persze esetleg lehet más út is. Kísérletet pedig bőven tettem, legfeljebb az adott válaszból kihagytam. Ilyen például a k: ‘A szóközt beleértve magyar nyelven 108 karakterrel egyértelműen nem definiálható legkisebb természetes szám.’ antinómiája. A trükk itt is abból áll, hogy csak azon mondatok játszanak, melyekhez egyértelműen rendlehető természetes szám, nevesen az amit a mondat jelent. Az iménti k mondatra ez nem teljesül. Mégis tanúnak hívják, antinómiaként kezelik mondván, hogy a mondat éppen 108 karakter hosszú, tehát mégis definiál egy értéket. Igen, de nem egyértelműen ezért nem játszik, hamis tanú. Akármilyen technikai bravúrral próbálkozik valaki, akármilyen formalizmussal, csak kitartó kutatás kérdése feltárni, hogy hol állapodik meg egyértelmű sorszámozásban. Hogy azután egy e szabály szerint kizárt esetet később mégis a tanuk padjára szólítson. Minél többet vizsgálja ezt az ember annál világosabbá lesz ez előtte. Gödel valami ilyet konstruál: G1. A G2 Gödel-számú mondat se nem bizonyítható, se nem cáfolható ebben a rendszerben, G1 és G2 természetes szám változók. Minket a fixpontja érdekel, vagyis ahol G1 = G2. A számelméleti modellt azonban ez egy percig sem érinti, mivel az adott mondat nem számelméleti. Ezen a szinten Gödel számot kap bármilyen lehetséges karaktersorozat is. Ha viszont előre rögzítjük, hogy milyen mondatok kapnak Gödel számot, mint az iménti „k” példánál (Richards-antinómia), akkor az „Ez a mondat nem bizonyítható és nem is cáfolható” már eleve kiesik a játékból, s csak hamis tanúnak hívható be. Jogosan kérdezi Geier János, hogy ha a Richards antinómia antinómia, akkor Gödel miért tétel? http://www.geier.hu/MAKOG_X/Ha_abstract.html
Említi a hazug krétai esetét is. Ennek is van bőven szakirodalma. Az értékréses logika (wikipédia) oldala is említi. Pedig ez is egyszerű hamis tanú. „Hazug mondat.” Mi ennek a logikai értéke. Kétértékes logikában egyiket sem adhatjuk neki. Vezessünk be egy hamadikat? Értékrést? Nem! Ennek a mondatnak ugyanis egyszerűen nincs logikai értéke. Nem játszik. Mert éppen az a kritériuma a játéknak hogy a mondatnak legyen EGYÉRTELMŰ logikai értéke a kétértékű logikában. Ennek pedig nincs. Mondhat ilyet egy hazug krétai is, s nevesen e mondata nem lesz logikai állítás és pont. Gödel első nemteljességi tétele is olyan mondatok létét igazolja csupán, melyeknek semmi köze a számelmélethez.
Végül a halmazfogalomnál is felhívtam a figyelmet az EGYÉRTELMŰSÉG kulcsszerepére. Ha halmaz és eleme helyett halmaz és része alapfogalmakat választom, akkor teljesül ez az egyértelműség, nem lesz egy halmaz sem egyszerre önmaga valódi és nem valódi részhalmaza.
Cantor sem bizonyítja a P(N) felsorolhatatlanságát csak azt, hogy ha egy felsorolásra működik az átlós módszer, akkor az nem teljes. Ám nem igazolja, hogy nem létezik teljes felsorolás, így ú is hamis tanút alkalmaz. Geier János megmutatta, nem kis vitát szítva, hogy Cantor hatványhalmaz tétele csak axiómával bizonyítható, vagyis egyszerűen igaznak tekintik és kész. Nincs rá klasszikus bizonyítás. http://www.geier.hu/Ruzsakonf2009/Ruzsakonf.htm
Tényleg ne tettem volna semmit a hamis tanuk tisztázására?
Végül a matematikát nem akarom Isten vizsgálatára használni. Amiről szó van: Isten a Teljesség (Kol1). S természetesen Helyes is. Ez motivált arra, hogy a matematikában is keressek olyan utat, amiben az egyszerre lehet helyes és teljes. Volt rá az esély, hogy ilyen matematika nincs, de minél többet gondolkodtam rajta annál világosabbá lett, hogy nagyon is lehetséges, hogy van. A fősodorral teljes ellentétben, de mégis. A tévedés jogát fenntartva.
Azt pedig Isten ítéletének tartom, hogy ha valaki elakar tévedni, azt hagyja. Megszámolhatatlan párhuzamos világ gondolata, amiben így a mi világunk „paraméterei” számára is adott egy buborék., hogy csak egyet említsek. Mások azt gondolják, hogy Istenről egymást átfedő igazságok mondhatok, de lesznek amik csak az egyik rendszerben igazak, mások meg csak másokban. Nem nehéz felfedezni a mintát, amit a matematika sugallt: egyik rendszerben igaz a kontinuum hipotézis a másikban nem. Az most mindegy, hogy a matematika nem vihető így át. Sokan mégis megteszik. Tudtukon kívül. Egy abszolút Istenben hiszek, nem végtelen számosságú egymást átfedőben. Cantor az utóbbira nyitott akarva akaratlanul kaput.
Türelmedet köszönöm.
Békességgel:
Hunor
Ami a halmazok elemszámait illeti, ugyanúgy nincs külön szavunk |{1}|-re, meg |{2}|-re, mindkettő 1. Nem butítás tehát Cantor részéről a megszámlálhatóan végtelen számosság, mivel a számosság és maga a halmaz két külön dolog, és ezt te is elismered.
A párosítás nem elfogadása erősen önkényesnek tűnik. A bijektív leképezések definíciójának semmi köze a halmazok elemszámához. Viszont a te elemszámfogalmadról még csak azt sem látom, hogy számfogalom, és azt sem látom, hogy van olyan |H|-1, mert a te elemszámfogalmadban van sok |H\{n}|, tetszőleges n természetes számra, és mind különbözik, tehát |H|-1 éppenhogy nem egyértelmű.
Ami a determinisztikus Turing-gépeket illeti, teljes joggal mutatsz rá az egyértelműség követelményére, ami a determinisztikus Turing-gépek definíció szerinti tulajdonsága. Nem-determinisztikus Turing-gépekkel már talán bajban lennél, de mivel az a közmegegyezés, hogy a Turing-gép, ha a szövegkörnyezet egyérteklművé nem teszi hogy máshogy kell értelmezni, deretminisztikus Turing-gépet jelent, valóban korrektül mutattál rá a hamis tanúra.
A Gödel-mondatok számozása nem kötődik az egyértelműséghez, kb. az ASCII kódoláshoz hasonló. Annak is van Gödel száma, hogy „lila dalra kelt egy nyakkendő”, meg annak is hogy „dsajoi ravnhjoirewnjvo njoirehovc hreoireh”. Gödel-számozása, és az, hogy a számmal jelölt mondathoz van-e bizonyító vagy cáfoló mondat, teljesen független attól, hogy egyértelmű-e a mondat vagy annak a jelentése. Mindenféle nem egyértelmű meg értelmetlen mondatra is értelmezettek ezek a dolgok. A Papadimitriou-féle tankönyvet nem ismerem, de nemrég utánajártam egy kicsit az eredeti Gödel publikációknak a neten és amit találtam, az határozottan erről győzött meg. Nem értem, a Richards-antinómia hogy jön ide, talán csak a Papadimitriou-féle tankönyv miatt, ebben az esetben nem tartom érdemesnek hogy tovább foglalkozzunk vele.
A „hamis mondat” állításnak a jelentésében tehát már benne van, hogy a mondat lexikálisan, szintaktikailag (és akár szemantikailag is) értelmezhető, és ráadásul cáfolható. „dsajoi ravnhjoirewnjvo njoirehovc hreoireh” például nem hamis mondat (legalábbis magyarul).
Gödelnél épp az a poén, hogy a nyelv erejét (még ha csak egy formális logkai nyelv erejét egy legalább megszámlálhatóan végtelen univerzumon is) behozza.
>>>Ha halmaz és eleme helyett halmaz és része alapfogalmakat választom, akkor teljesül ez az egyértelműség, nem lesz egy halmaz sem egyszerre önmaga valódi és nem valódi részhalmaza.<<<
Ez halmaz és eleme esetén is teljesül, minden egyértelmű marad, csak éppen le kell tenni arról, hogy volna halmazok halmaza. Aminek viszont semmi köze ahhoz, hogy van-e Isten, és ha igen, akkor ő milyen.
Nem értem, mit értesz teljes felsorolás és annak igazolása kapcsán. Az N és NxN között az átlós módszer cantori értelemben bizony párosítás (amit te el akarsz vetni a saját rendszeredben), az N-nel való párosítás pedig maga a teljes felsorolás. Tehát egkonstruálta a teljes felsorolást.
Ami a teljes és helyes matematikát illeti, naná hogy létezik. A természetes számokon is, igaz arithmetikának hívják (ld. pl. http://en.wikipedia.org/wiki/True_arithmetic). Más kérdés, hogy nem megszámlálható, nem felsorolható, rekurzív sem felsorolható. Kicsúszik a kezünk közül. Hogy egy éneket idézzek "ki kétkedőn boncolja Őt, annak választ nem ád".
A matematika nem vihető át. És ez nem más kérdés, Cantorral szerintem semmi gond, csak azokkal akik ezt az átvitelt elkövetik.